変換 (数学)
(逆変換 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/04/19 10:16 UTC 版)
数学的意味での変換（へんかん、transformation）とは、点を他の点に移したり、式を他の式に変えたり、座標を取り替えたりすること。
概要
もっとも単純には、一つの集合 A が与えられたとき、A の各元 a に対して、A の元 b をただ一つ a の行き先 f(a) として指定するような対応規則 f のことである。すなわち、A から A 自身への写像（または関数）を （A の、A 上の、A 上で定義された、あるいは A における）変換というのである。文脈によっては、特にことわりなく可逆変換（全単射でしたがって逆写像を持つ変換）を意味することがある。
ただし通常、変換という語を用いるとき、与えられた集合には距離空間の位相やベクトル空間などの何らかの構造が入っているのが普通である。そして、（主に幾何学的な）構造を持つ集合 A に対しては、A 上の変換という語は、A から A 自身への構造を保つ写像に対して用いる。すなわち、写像 φ A → A でその像 φ(A) = {φ(a) | a ∈ A} ⊂ A が A と同様の数学的構造をもつ（言い換えれば φ(A) が A の部分系となる）ようなものに限って変換という語を充てるのである。
特に、幾何学では点からなり、距離（大きさ）や連結性などの位相的な構造によって束縛された集合である図形が対象であり、空間（面、線、点あるいは一般の位相空間）における変換により図形は一般には変形される（英語のtransformation（変換）には変形の意味もある）。ただし、回転や平行移動などの図形の形状を変化させない変換もある。
代表的な変換には射影変換とその特別な場合であるアフィン変換がある。これらは線形変換の仲間である。
冒頭で、変換は集合を自分自身に移す写像であると述べたが、必ずしも集合や写像という言葉に拘泥する必要はない。実際、圏論においては圏の対象として集合という実態は必ずしも必要でなく、圏の射は写像である必要を持たない。したがって変換という言葉もさらに広い意味で用いられることがある。（cf. 自然変換（関手間の射））
関連項目
逆変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 15:30 UTC 版)
「中国における地理的データの制限」の記事における「逆変換」の解説
GCJ-02座標系には 20 n sin ( 180 k × l a t r a d ) {\displaystyle 20n\sin {}(180k\times lat_{rad})} の形で表される複数の高周波のノイズが用いられており、効果的に超越関数を作り、解析的解法を排除することが出来る。しかし、オープンソースで公開されている逆変換ではGCJ-02座標系の特性である局所的な線形性と単調性を活用しており、変換した座標はWGS84座標系からそれほどずれたものではない。 from typing import Callable# 座標を複素数で表し単純にするcoords = complex# 座標から座標に変換する関数C2C = Callable[[coords], coords]def rev_transform_rough(bad: coords, worsen: C2C) -> coords: """ おおよそ ``worsen``変換を逆転させる. ``bad = worsen(good)``は``good``に近いため, ``worsen(bad) - bad`` はおおよそ ``bad - good``として使える よって``bad - (worsen(bad) - bad)``はおおむね ``bad - (bad - good) = good``である この略算法はeviltransformで初めに見られたものである。 """ return bad - (worsen(bad) - bad)def rev_transform(bad: coords, worsen: C2C) -> coords: """ より正確に``worsen``変換を逆転させる. ``rev_transform_rough``と同様に、 ``worsen(a) - worsen(b)`` を``a - b``の近似として扱える。 これはgeoChina/R/cst.R (caijun 2014)で初めて見られたものである。 おおよその初期化のない、反復のみのものはfengzee-me/ChinaMapShift (November 2013)から知られている。 """ eps = 1e-6 wgs = rev_transform_rough(bad, worsen) old = bad dowhile = True # 最初のepsの試行で失敗する可能性があるため while abs(wgs - old) > eps or dowhile: old = wgs wgs -= worsen(wgs) - bad dowhile = False return wgs 略算的な方法でも1〜2 m程度の精度でWGS-84座標系による座標が得られ、より精度を上げた方法では2回の反復でセンチメートルレベルの精度が得られる。これら2つの特性は座標系のいくつかの基本的な機能を保証しているため、この逆変換の方法は新しい座標系でも変わることなく適用できる。BD-09座標系からGCJ-02座標系に変換するプログラムは上記の略算法では、明らかに付加された20秒程度の定数のずれをまず取り除く。
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