有限群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/09 09:19 UTC 版)
数学および抽象代数学において、有限群(ゆうげんぐん、英: finite group)とは台となっている集合 G が有限個の元しか持たない群のことである。20世紀の間数学者は、特に有限群の局所解析や、可解群や冪零群の理論などといった、有限群の理論のさまざまな面を深く研究していた。全ての有限群の構造の完全な決定は余りに遠大な目標だった: あり得る構造の数はすぐに圧倒的に大きくなった。しかし、単純群の完全な分類という目標は達成された。つまり任意の有限群の「組み立て部品」は現在では完全に知られている（任意の有限群は組成列を持つ）。
- ^ John F. Humphreys, A Course in Group Theory, Oxford University Press, 1996, pp. 238-242.
有限群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/06 03:00 UTC 版)
有限群の既約表現の行列要素は、バーンサイド、フロベニウス、シュアらの展開した有限群の表現論において顕著な役割を持っている。これら既約表現はシューアの直交関係式（英語版）を満たし、その表現の指標 ρ は行列要素 fvi,ηi の和となる。ただし、{vi} は ρ の表現空間における基底、{ηi} はその双対基底である。
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有限群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/19 07:05 UTC 版)
「ユークリッドの運動群」の記事における「有限群」の解説
必ず不動点を持つ。三次元の場合、任意の点において全部で二つある向きの何れについても、包含に関して極大となる有限群 Oh, Ih が存在する。このうち群 Ih は次に挙げる群の中で考えても極大である。
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有限群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/15 15:33 UTC 版)
有限群 G に対し、（体 K 上の）左正則表現 λ は、G の元により自由生成された K-ベクトル空間 V（すなわち、G の元たちは V の基底と同一視できる）の上の線型表現である。g ∈ G が与えられると、λ(g) は g による左移動による基底への作用によって決定される線型写像である、すなわち 全ての h ∈ G {\displaystyle h\in G} に対して、 λ ( g ) : h ↦ g h {\displaystyle \lambda (g)\colon h\mapsto gh} である。右正則表現 ρ に対しては、表現の公理を満たすため、逆を取る必要がある。つまり、g ∈ G が与えられると、ρ(g) は g−1 による右移動による基底への作用により決定される V 上の線型写像である。すなわち、 全ての h ∈ G {\displaystyle h\in G} に対して、 ρ ( g ) : h ↦ h g − 1 {\displaystyle \rho (g)\colon h\mapsto hg^{-1}} である。あるいは、これらの表現は、全ての写像 G → K のなす K-ベクトル空間 W 上に定義することもできる。この形の定義を用いれば、正則表現はリー群のような位相群へ一般化される。 W に関して、具体的に定義すると次のようになる。写像 f: G → K と元 g ∈ G が与えられると、 ( λ ( g ) f ) ( x ) = f ( g − 1 x ) {\displaystyle (\lambda (g)f)(x)=f(g^{-1}x)} および ( ρ ( g ) f ) ( x ) = f ( x g ) {\displaystyle (\rho (g)f)(x)=f(xg)} と定義される。
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