素数位数の有限群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/02 16:08 UTC 版)
「ラグランジュの定理 (群論)」の記事における「素数位数の有限群」の解説
素数位数の有限群 ― 有限群 G の位数が素数 p ならば、群 G は巡回群である。 証明 p ≧ 2 より、群 G の単位元 e 以外の元を x とすると、x が生成する巡回群 ⟨x⟩ は群 G の部分群になるから、その位数 |⟨x⟩| は素数 p の約数になる。したがって、|⟨x⟩| = 1 または |⟨x⟩| = p になる。|⟨x⟩| = 1 の場合は、x = e となり不適。|⟨x⟩| = p の場合は群 G の位数と等しくなるので、G = ⟨x⟩ となり題意は示された。
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