素数の間隔の予想
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/27 00:48 UTC 版)
リーマン予想のもとではさらに良い結果が得られる。ハラルド・クラメールはリーマン予想が、間隔gnはランダウの記号を用いて g n = O ( p n log p n ) , {\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),} であることを暗示していることを証明した。のちに、この間隔はさらに小さいと予想した。おおまかに言うと、クラメールの予想は g n = O ( ( log p n ) 2 ) . {\displaystyle g_{n}=O\left((\log p_{n})^{2}\right).} という内容である。Firoozbakhtの予想は p n 1 / n {\displaystyle p_{n}^{1/n}} （ p n {\displaystyle p_{n}} はn番目の素数）はnの厳密に減少する関数である。すなわち、 p n + 1 1 / ( n + 1 ) < p n 1 / n for all n ≥ 1. {\displaystyle p_{n+1}^{1/(n+1)}<p_{n}^{1/n}{\text{ for all }}n\geq 1.} である。この予想が真である場合、関数 g n = p n + 1 − p n {\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}} は g n < ( log p n ) 2 − log p n for all n > 4. {\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}{\text{ for all }}n>4.} を満たす。これはクラメールの予想の強い形を暗示しているが、GranvillePintzのヒューリスティックとは矛盾している。これは任意の ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} に対して g n > 2 − ε e γ ( log p n ) 2 {\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}} が無限回起こる（ γ {\displaystyle \gamma } はオイラーの定数） その一方、Oppermannの予想はクラメールの予想より弱い。Oppermannの予想で予想される間隔は g n < p n . {\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.} のオーダーである。結果としてOppermannの予想の元では、全ての自然数 n > m {\displaystyle n>m} に対して g n < p n . {\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.} を満たす m {\displaystyle m} （おそらく m = 30 {\displaystyle m=30} ）が存在する。 Oppermannの予想よりも弱いAndricaの予想は g n < 2 p n + 1. {\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.} という内容である。これは連続する平方数の間には素数が必ずあるというルジャンドル予想よりは少し強い。 Polignacの予想は、全ての正の偶数kが無限の頻度で素数の間隔として生じるという内容である。k = 2の場合は双子素数予想である。この予想は特定のkの値についてはまだ証明されておらず、反証もされていないが、張益唐の結果は少なくとも1つ（現在のところ未知）の7千万より小さいkの値については真であることが証明されている。上で議論されたように、この上限は246に改良された。
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