素数冪の指数の正規部分群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:13 UTC 版)
「部分群の指数」の記事における「素数冪の指数の正規部分群」の解説
素数冪の指数の正規部分群は p-群への全射写像の核であり（Focal subgroup theorem: Subgroupsの項に述べたような、焦点部分群定理（英語版）として精緻化される）面白い構造をもつ。 素数冪の指数の3つの重要な正規部分群が存在し、それぞれあるクラスで最小の正規部分群である： Ep(G) はすべての指数 p の正規部分群の共通部分である。G/Ep(G) は基本アーベル群であり G が全射する最大の基本アーベル p-群である。 Ap(G) は G/K がアーベル p-群であるようなすべての正規部分群 K（すなわち K は導来群 [ G , G ] {\displaystyle [G,G]} を含む指数 p k {\displaystyle p^{k}} の正規部分群である）の共通部分である：G/Ap(G) は G が全射する最大のアーベル p-群（基本とは限らない）である。 Op(G) は G/K が（非アーベルでもよい）p-群である（すなわち K は指数 p k {\displaystyle p^{k}} の正規部分群である）ような G のすべての正規部分群 K の共通部分である：G/Op(G) は G が全射する最大の p-群（アーベルとは限らない）である。Op(G) は p-残余部分群 (p-residual subgroup) とも呼ばれる。 これらは群 K についてのより弱い条件であるから、次の包含を得る E p ( G ) ⊇ A p ( G ) ⊇ O p ( G ) . {\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).} これらの群はシロー部分群 (Sylow subgroup) と transfer homomorphism にそこで議論されているように重要な関係がある。
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