素数位数の平面の構成

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素数位数の平面の構成

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/30 22:19 UTC 版)

「射影平面」の記事における「素数位数の平面の構成」の解説

素数位数 N の射影平面は、位数 N の有限体上の線型代数学的構成を用いて構成することができる。あるいは以下のようにしても構成できる。 一点 P を用意する。 N 個の点を用意して、c = 0, ..., N − 1 に応じて、P(c) と書く。 同様に N2 個の点を P(r, c) (r, c = 0, ..., N − 1) とする。 これらの点に対して、以下のように直線を構成する 一本の直線が L = {P, P(0), ..., P(N − 1)} で与えられる。 N 本の直線を、c = 0, ..., N − 1 に応じて、L(c) = {P, P(0, c), ..., P(N − 1, c)} とする。 N2 本の直線を L(r, c) = {P(c) および P((r + ci) mod N, i)} (i, r, c = 0, ..., N − 1) とする。 ただし、ここで書いた式 (r + ci) mod N で i が 0 から N − 1 までの全ての値を亘るのは、N が素数の場合に限る。 この構成から、二つの退化平面が生じる。すなわち、N = 0 に対してただ一つの点がただ一つの直線に接続したものが得られ、N = 1 に対して三点と三直線からなる三角形が得られる。素数 N に対しては、この方法で構成される任意の平面が上記定義の条件3を満足する。 例えば N = 2 とすると、 一直線 L = { P, P(0), P(1)} 二直線 L(c) = {P, P(0,c), P(1,c)} (c = 0, 1) 四直線 L(r, c) = {P(c), P((r + ci) mod 2, i) | i = 0, 1} (r, c = 0, 1) となる。