電磁真空ワイル解用の簡約化方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/28 09:31 UTC 版)
「ワイル計量」の記事における「電磁真空ワイル解用の簡約化方程式」の解説
最もよく調査されており最も有用なワイル解の一つが Tab が電磁場のみに起因する、すなわち物質も電流も存在しない状況に対応する（ワイル型）電磁真空解である。知っての通り、電磁四元ポテンシャル Aa が与えられれば反対称電磁場テンソル Fab およびトレースフリーなエネルギー・運動量テンソル Tab (T = gabTab = 0) をそれぞれ計算することができる。 F a b = A b ; a − A a ; b = A b , a − A a , b {\displaystyle F_{ab}=A_{b\,;\,a}-A_{a\,;\,b}=A_{b\,,\,a}-A_{a\,,\,b}} (3) T a b = 1 4 π ( F a c F b c − 1 4 g a b F c d F c d ) {\displaystyle T_{ab}={\frac {1}{4\pi }}\,{\Big (}\,F_{ac}F_{b}^{\;c}-{\frac {1}{4}}g_{ab}F_{cd}F^{cd}{\Big )}} (4) これは、源無し共変マクスウェル方程式を満たす。 ( F a b ) ; b = 0 , F [ a b ; c ] = 0 {\displaystyle {\big (}F^{ab}{\big )}_{;\,b}=0\,,\quad F_{[ab\,;\,c]}=0} (5.a) 式(5.a) は次のように簡略化できる。 ( − g F a b ) , b = 0 , F [ a b , c ] = 0 {\displaystyle {\big (}{\sqrt {-g}}\,F^{ab}{\big )}_{,\,b}=0\,,\quad F_{[ab\,,\,c]}=0} (5.b) ここで Γabc = Γacb を用いた。また、電磁真空においては R = −8πT = 0 であるから、式(2)を次のように簡約化できる。 R a b = 8 π T a b {\displaystyle R_{ab}=8\pi T_{ab}} (6) ここで、ワイル型軸対称静電ポテンシャルを Aa = Φ(ρ, z)[dt]a （成分 Φ は実際に電磁スカラーポテンシャル） と式(1)の形のワイル計量を仮定すると、式(3)(4)(5)(6)から次が導ける。 ∇ 2 ψ = ( ∇ ψ ) 2 + γ , ρ ρ + γ , z z {\displaystyle \nabla ^{2}\psi =\,(\nabla \psi )^{2}+\gamma _{,\,\rho \rho }+\gamma _{,\,zz}} (7.a) ( 7. b ) ∇ 2 ψ = e − 2 ψ ( ∇ Φ ) 2 {\displaystyle (7.b)\quad \nabla ^{2}\psi =\,e^{-2\psi }(\nabla \Phi )^{2}} (7.b) 1 ρ γ , ρ = ψ , ρ 2 − ψ , z 2 − e − 2 ψ ( Φ , ρ 2 − Φ , z 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,\rho }=\,\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}-e^{-2\psi }{\big (}\Phi _{,\,\rho }^{2}-\Phi _{,\,z}^{2}{\big )}} (7.c) 1 ρ γ , z = 2 ψ , ρ ψ , z − 2 e − 2 ψ Φ , ρ Φ , z {\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,z}=\,2\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}-2e^{-2\psi }\Phi _{,\,\rho }\Phi _{,\,z}} (7.d) ∇ 2 Φ = 2 ∇ ψ ∇ Φ {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =\,2\nabla \psi \nabla \Phi } (7.e) ここで、R = 0 から式(7.a)が得られ、Rtt = 8πTtt もしくは Rφφ = 8πTφφ から式(7.b)が得られ、Rρρ = 8πTρρ もしくは Rzz = 8πTzz から式(7.c)が得られ、Rρz = 8πTρz から式(7.d)が得られ、式(5.b) から式(7.e)が得られる。また、 ∇ 2 = ∂ ρ ρ + 1 ρ ∂ ρ + ∂ z z {\displaystyle \nabla ^{2}=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\,\partial _{\rho }+\partial _{zz}} および ∇ = ∂ ρ e ^ ρ + ∂ z e ^ z {\displaystyle \nabla =\partial _{\rho }\,{\hat {e}}_{\rho }+\partial _{z}\,{\hat {e}}_{z}} はそれぞれラプラス演算子と勾配演算子である。 さらに、物質・幾何相互作用の意味で ψ = ψ(Φ) とし、漸近的平坦性を仮定すると式(7.a-e)から次の状態方程式が得られる。 e ψ = Φ 2 − 2 C Φ + 1 {\displaystyle e^{\psi }=\,\Phi ^{2}-2C\Phi +1} (7.f) 特に、もっとも単純な真空の場合は Φ = 0 かつ Tab = 0 であり、式(7.a-7.e)は次のように簡約化される。 γ , ρ ρ + γ , z z = − ( ∇ ψ ) 2 {\displaystyle \gamma _{,\,\rho \rho }+\gamma _{,\,zz}=-(\nabla \psi )^{2}} (8.a) ∇ 2 ψ = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0} (8.b) γ , ρ = ρ ( ψ , ρ 2 − ψ , z 2 ) {\displaystyle \gamma _{,\,\rho }=\rho \,{\Big (}\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}{\Big )}} (8.c) γ , z = 2 ρ ψ , ρ ψ , z {\displaystyle \gamma _{,\,z}=2\,\rho \,\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}} (8.d) まず式(8.b)を解くことで ψ(ρ, z) が得られ、その上で式(8.c)および式(8.d)を解くことで γ(ρ, z) が得られる。実用上、R = 0 から帰結する式(8.a)は無矛盾性関係式もしくは可積分条件式としてしか働かない。 非線形ポアソン方程式(7.b)とは異り、式(8.b)は線形ラプラス方程式である。これはつまり、式(8.b)を満たす真空解を重ね合わせてもやはり式(8.b)の解であるということを意味する。この事実は広い応用を持っており、たとえば解析的にシュワルツシルトブラックホールを歪める（英語版）のに応用できる。 Box A: 電磁真空方程式についての注意 軸対称なラプラス演算子および勾配演算子を用いて式(7.a-7.e)および式(8.a-8.d)をコンパクトに書き下した。これは状態方程式(7.f)の導出に非常に有用である。論文では、式(7.a-7.e)および式(8.a-8.d)は次の形式で書き下されることもしばしばである。 ψ , ρ ρ + 1 ρ ψ , ρ + ψ , z z = ( ψ , ρ ) 2 + ( ψ , z ) 2 + γ , ρ ρ + γ , z z {\displaystyle \psi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\psi _{,\,\rho }+\psi _{,\,zz}=\,(\psi _{,\,\rho })^{2}+(\psi _{,\,z})^{2}+\gamma _{,\,\rho \rho }+\gamma _{,\,zz}} (A.1.a) ψ , ρ ρ + 1 ρ ψ , ρ + ψ , z z = e − 2 ψ ( Φ , ρ 2 + Φ , z 2 ) {\displaystyle \psi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\psi _{,\,\rho }+\psi _{,\,zz}=e^{-2\psi }{\big (}\Phi _{,\,\rho }^{2}+\Phi _{,\,z}^{2}{\big )}} (A.1.b) 1 ρ γ , ρ = ψ , ρ 2 − ψ , z 2 − e − 2 ψ ( Φ , ρ 2 − Φ , z 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,\rho }=\,\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}-e^{-2\psi }{\big (}\Phi _{,\,\rho }^{2}-\Phi _{,\,z}^{2}{\big )}} (A.1.c) 1 ρ γ , z = 2 ψ , ρ ψ , z − 2 e − 2 ψ Φ , ρ Φ , z {\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,z}=\,2\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}-2e^{-2\psi }\Phi _{,\,\rho }\Phi _{,\,z}} (A.1.d) Φ , ρ ρ + 1 ρ Φ , ρ + Φ , z z = 2 ψ , ρ Φ , ρ + 2 ψ , z Φ , z {\displaystyle \Phi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\Phi _{,\,\rho }+\Phi _{,\,zz}=\,2\psi _{,\,\rho }\Phi _{,\,\rho }+2\psi _{,\,z}\Phi _{,\,z}} (A.1.e) および ( ψ , ρ ) 2 + ( ψ , z ) 2 = − γ , ρ ρ − γ , z z {\displaystyle (\psi _{,\,\rho })^{2}+(\psi _{,\,z})^{2}=-\gamma _{,\,\rho \rho }-\gamma _{,\,zz}} (A.2.a) ψ , ρ ρ + 1 ρ ψ , ρ + ψ , z z = 0 {\displaystyle \psi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\psi _{,\,\rho }+\psi _{,\,zz}=0} (A.2.b) γ , ρ = ρ ( ψ , ρ 2 − ψ , z 2 ) {\displaystyle \gamma _{,\,\rho }=\rho \,{\Big (}\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}{\Big )}} (A.2.c) γ , z = 2 ρ ψ , ρ ψ , z {\displaystyle \gamma _{,\,z}=2\,\rho \,\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}} (A.2.d) Box B: ワイル電磁真空 ψ ∼ Φ {\displaystyle \psi \sim \Phi } 状態方程式の導出 時空の幾何とエネルギー・物質分布との相互作用を考慮すると、式(7.a-7.e)において計量関数 ψ(ρ, z) は静電ポテンシャル Φ(ρ, z) と関数関係 ψ = ψ(Φ) （つまり幾何がエネルギーに依存する）を仮定するのが自然であり、ここから次が帰結する。 ψ , i = ψ , Φ ⋅ Φ , i , ∇ ψ = ψ , Φ ⋅ ∇ Φ , ∇ 2 ψ = ψ , Φ ⋅ ∇ 2 Φ + ψ , Φ Φ ⋅ ( ∇ Φ ) 2 {\displaystyle \psi _{,\,i}=\psi _{,\,\Phi }\cdot \Phi _{,\,i}\quad ,\quad \nabla \psi =\psi _{,\,\Phi }\cdot \nabla \Phi \quad ,\quad \nabla ^{2}\psi =\psi _{,\,\Phi }\cdot \nabla ^{2}\Phi +\psi _{,\,\Phi \Phi }\cdot (\nabla \Phi )^{2}} (B.1) 式(B.1) により式(7.b)および式(7.e)はただちにそれぞれ次のように変換される。 Ψ , Φ ⋅ ∇ 2 Φ = ( e − 2 ψ − ψ , Φ Φ ) ⋅ ( ∇ Φ ) 2 , {\displaystyle \Psi _{,\,\Phi }\cdot \nabla ^{2}\Phi \,=\,{\big (}e^{-2\psi }-\psi _{,\,\Phi \Phi }{\big )}\cdot (\nabla \Phi )^{2},} (B.2) ∇ 2 Φ = 2 ψ , Φ ⋅ ( ∇ Φ ) 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi \,=\,2\psi _{,\,\Phi }\cdot (\nabla \Phi )^{2}} (B.3) したがって、次を得る。 ψ , Φ Φ + 2 ( ψ , Φ ) 2 − e − 2 ψ = 0 {\displaystyle \psi _{,\,\Phi \Phi }+2\,{\big (}\psi _{,\,\Phi }{\big )}^{2}-e^{-2\psi }=0} (B.4) ここで、変数 ψ を ζ := e2ψ で置き換えれば、式(B.4)は次のように簡約化される。 ζ , Φ Φ − 2 = 0 {\displaystyle \zeta _{,\,\Phi \Phi }-2=0} (B.5) 式(B.5)を直接積分すると ζ = e2ψ = Φ2 + ~CΦ + B が得られる。ここで {B, ~C} は積分定数である。無限遠点における漸近的平坦性を満たすためには、 lim ρ , z → ∞ Φ = 0 {\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }\Phi =0} および lim ρ , z → ∞ e 2 ψ = 1 {\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }e^{2\psi }=1} が要請され、したがって B = 1 でなければならない。また、数学的簡便化のために以下 ~C を −2C のように書き直すこととすると、式(7.a-7.e)から最終的に次の状態方程式が導かれる。 e 2 ψ = Φ 2 − 2 C Φ + 1 {\displaystyle e^{2\psi }=\Phi ^{2}-2C\Phi +1} (7.f) この関係式は式(7.a-7.f)を線形化し、電磁真空ワイル解の重ね合わせる上で重要である。
※この「電磁真空ワイル解用の簡約化方程式」の解説は、「ワイル計量」の解説の一部です。
「電磁真空ワイル解用の簡約化方程式」を含む「ワイル計量」の記事については、「ワイル計量」の概要を参照ください。
- 電磁真空ワイル解用の簡約化方程式のページへのリンク
