量の次元とは
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/01 04:04 UTC 版)
一般に同じ種類の量同士の間では和と差の演算が定義でき、結果は同じ種類の量になる。異なる種類の量同士の和や差には意味がない。同じ種類の量同士でも異なる種類の量同士でも積や商が定義できることがあり、その結果は演算した量のどちらとも異なる種類の量になる。例えば長さ同士の積は面積であり、長さの時間による商は速さである。このように異なる種類の量同士の間に特定の関係式が成り立つことがあるが、そのような関係式の解析は次元という概念を使うと簡単になることがある。 量の次元とは、相異なる量の間の関係式から具体的数値を無視して量の種類とそのべき乗だけに着目した概念である。具体的には定数係数を無視した等式として、次元の関係式を表す。すなわち、量 q の次元を[ q ]と表せば、以下のようないくつかの次元の関係式が例示できる。 [面積] = [長さ]2 [体積] = [長さ]3 [速さ] = [長さ][時間]−1 [加速度] = [長さ][時間]−2 [力] = [質量][長さ][時間]−2 [仕事] = [質量][長さ]2[時間]−2 具体的数値を考慮すれば、例えば立方体の体積Vと一辺の長さaとの関係は、それぞれの単位をuV,uLとして、 V/uV = (const)(a/uL)3 となり定数constは体積と長さの単位の採り方で変わる。例えば体積の単位としてL（リットル）を採れば、 1 L = 1,000 cm3 = 0.001 m3 = 61.02 inch3 なので、 V/L = (1/1,000)(a/cm)3 = 1,000(a/m)3 = (1/61.02)(a/inch)3 である。しかし指数3は常に変わらず上記の次元の関係式は単位の採り方によらない。さらにVを直方体や三角錐の体積とすれば、 V/m3 = abc/m3 V/m3 = (1/6)ah1h2/m3 などとなるが、やはり次元の関係式は同じである。つまり次元の概念を使えば具体的数値計算を行うことなく、また単位を考慮することもなく、相異なる量の間の関係が理解できるのである。具体的効用には次のようなものがあるが詳細は「次元解析」の項目に詳しい。 等式の両辺の次元が等しいか否かを確認することで、その等式の正しさのチェックができる。 見かけ上異なる量でも次元が等しければ本質的に同等か、強い関係があることが推定できる。 ある未知の等式が特定のn種類の量 (q1, q2, ..., qn) の全てを含む場合、次元のみの関係から等式の形が推定できる。（次元解析の項目に良い具体例がある。） ここで次元が等しいというのは、既知の次元式を用いていくつかの量を他の量の組み合わせで置換して両辺に含まれる量の種類を同じにしたとき、各量の指数が一致するということである。例えば、 [力積] = [力][時間] = [質量][長さ][時間]−1 = [運動量] となり、力積は運動量に対応することが次元解析のみから推定でき、実際に力積は運動量に変換される。ここで力積と運動量は次元は同じだが異なる種類の量であることには注目すべきである。一般に同じ種類の量ならば次元は等しいが、その逆は必ずしも成り立たない。他にも、仕事と力のモーメントはどちらも[力][長さ]の次元を持つが異なる種類の量であり、互いに物理的に変換するということもない。この場合どちらも力と長さの積ではあるのだが、仕事ではその長さは力に平行な方向の長さであり、力のモーメントでは力に垂直な方向の長さであるという違いがある。
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