連続体仮説

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連続体仮説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/05 06:03 UTC 版)

「カントールの対角線論法」の記事における「連続体仮説」の解説

詳細は「連続体仮説」を参照 カントールの定理において、Xとして自然数の集合Nを考える。この冪集合の濃度2N は連続体濃度に等しいことが知られている。では、果たして可算濃度 |N| とその冪集合の濃度 2N の間に濃度が存在するのだろうか。つまり |N| < m < 2N なる濃度 m は存在しない という主張が連続体仮説と呼ばれるものである。これはヒルベルトの23の問題の第1問題として挙げられた。 またこれを一般化して、 無限濃度 n に対して、n < m < 2n なる m は存在しない というのが、一般連続体仮説である。一般連続体仮説のZFからの無矛盾性をクルト・ゲーデルが、独立性を1963年にポール・コーエンがそれぞれ証明した。

連続体仮説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/03 05:54 UTC 版)

「連続体濃度」の記事における「連続体仮説」の解説

詳細は「連続体仮説」を参照 カントールによって提唱された連続体仮説とは、連続体濃度 が二番目のアレフ数 ℵ1 であることを主張するものである。これは、ℵ0 と との間に真に挟まれる濃度を持つ集合 A は存在しない： と言い換えることもできる。現在ではこの言明はツェルメロ＝フレンケルの公理系に選択公理を付け加えた公理系 ZFC からは独立であることが知られている。すなわち、ZFC に連続体仮説を付け加えた体系も ZFC に連続体仮説の否定を付け加えた体系も、いずれも (ZFC が無矛盾ならば) 無矛盾である。 実は、0 でない任意の自然数 n に対し、等式 は ZFC と独立である（n = 1 の場合が連続体仮説）。他の多くのアレフ数に対しても同様のことが言えるが、一部のアレフ数については共終性に基づくケーニヒの定理によって除外される（例えば が成り立つ）。特に は ℵ1 にも ℵω1 にも成り得る（ω1 は最小の非可算順序数）。従って、連続体濃度 は後続基数にも極限基数にも成り得るし、正則基数にも特異基数にも成り得る。

連続体仮説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:12 UTC 版)

「アレフ数」の記事における「連続体仮説」の解説

詳細は「連続体仮説」を参照 「ベート数」も参照 実数の集合の濃度（連続体濃度）は 2ℵ0 である。この数がアレフ数の列のどこに一致するかは ZFC（選択公理を伴ったツェルメロ・フレンケル集合論）から決めることはできないが、ZFC から「連続体仮説 (continuum hypothesis, CH) は等式 2ℵ0 = ℵ1 と同値である」ことが従う。CH は ZFC から独立である。（ZFC が無矛盾であれば）CH はその公理系において証明も反証もできない。それが ZFC と無矛盾であることは クルト・ゲーデル によって 1940 年にその否定が ZFC の定理でないことを示したときに証明された。それが ZFC と独立であることは ポール・コーエン によって 1963 年に逆に CH 自身は ZFC の定理でないことを（当時は新奇な）強制法の手法によって示したときに証明された。

連続体仮説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/27 02:47 UTC 版)

「最小の非可算順序数」の記事における「連続体仮説」の解説

詳細は「連続体仮説」を参照 連続体仮説とは『連続濃度はω1の濃度と等しい』という命題で、19世紀にカントルによって提唱された。現在では、ZFCにおいて証明も反証もできない命題であることが知られている。この仮説との関連で、ω1 のべき集合 P ( ω 1 ) の構造も研究されている。