連続体の記述方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/01 22:16 UTC 版)
連続体を数学的に記述する方法として二つの表示が知られている。 第一の表示は、視点を空間上の各点に固定して連続体を記述する方法で、時刻 t に空間上の点 x における物理量 Q を Q = F ( x , t ) {\displaystyle Q=F({\boldsymbol {x}},t)} として記述する方法である。この表示は連続体の空間表示（spatial description）、あるいはオイラー表示（オイラー記述、Eulerian description）と呼ばれる。空間表示では連続体の各部分に付随する物理量は場として記述される。 第二の表示は、連続体上の各部分を時間的に追跡する方法で、時刻 t = 0 に初期位置 x = X0 にあった連続体の部分が時刻 t において移動している位置を x = X(t) として、この部分に付随する物理量 Q を Q = F m ( t ; X 0 ) = F ( X ( t ) , t ) {\displaystyle Q=F_{\text{m}}(t;{\boldsymbol {X}}_{0})=F({\boldsymbol {X}}(t),t)} により記述する方法である。この表示は連続体の物質表示（material description）、あるいはラグランジュ表示（ラグランジュ表記、Lagrangian description）と呼ばれる。物質表示では連続体の各部分に付随する物理量は時刻 t の関数として記述される。各部分の初期位置 X0 は補助変数である。特に物質表示において速度は v = v m ( t ; X 0 ) = v ( X ( t ) , t ) = d X d t {\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{\text{m}}(t;{\boldsymbol {X}}_{0})={\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {X}}(t),t)={\frac {d{\boldsymbol {X}}}{dt}}} を満たす。 連続体を記述する二つの表示と対応して、二種類の時間微分が定義される。空間表示と対応する時間微分は ∂ Q ∂ t = ∂ F ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}} で定義される。空間表示では物理量が場として記述されるため、対応する時間微分は偏微分である。この微分はオイラー微分（Eularian derivative）、@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}空間微分（spatial derivative）、空間時間微分（spatial time derivative）[要出典]と呼ばれる。 一方、物質表示と対応する時間微分は D Q D t = d F m d t {\displaystyle {\frac {DQ}{Dt}}={\frac {dF_{\text{m}}}{dt}}} で定義される。物質表示では物理量は時間の関数として記述されるため、対応する時間微分は常微分である。この微分は物質微分（material derivative）、物質時間微分（material time derivative）、流れに乗って移動するときの微分、実質微分、 ラグランジュ微分（Lagrangian derivative）などと呼ばれる。これら二つの時間微分は連鎖律から d F m d t = [ d X d t ⋅ grad F + ∂ F ∂ t ] x = X ( t ) = [ v ( x , t ) ⋅ grad F + ∂ F ∂ t ] x = X ( t ) {\displaystyle {\frac {dF_{\text{m}}}{dt}}=\left[{\frac {d{\boldsymbol {X}}}{dt}}\cdot \operatorname {grad} F+{\frac {\partial F}{\partial t}}\right]_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {X}}(t)}=\left[{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {x}},t)\cdot \operatorname {grad} F+{\frac {\partial F}{\partial t}}\right]_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {X}}(t)}} となる。ここで右辺の括弧の中はオイラー表示で表されているので、オイラー表示におけるラグランジュ微分は D Q D t = v ⋅ grad Q + ∂ Q ∂ t {\displaystyle {\frac {DQ}{Dt}}={\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} Q+{\frac {\partial Q}{\partial t}}} (B1) で表される。 ラグランジュ微分はオイラー微分と違いガリレイ変換に対して不変であるなどの利点がある。
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