連続体に働く力
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/01 22:16 UTC 版)
重力のように体積要素dVを使って ∫ V ρ d V {\displaystyle \int _{V}\rho \operatorname {d} V} のように表記できる力を体積力という。それに対して連続体の断面の面積要素dSを使って表現できる力を 面積力といい、位置xと面の法線nを用いて面積力を ∫ S p x ( n ) d S {\displaystyle \int _{S}\mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {n} )\operatorname {d} S} と表記したとき、積分内のpx(n)を連続体に働く応力という。 応力px(n)は面の法線nに平行であるとは限らない。例えばゴムでできた柱が重力に負けて横に歪むのは重力に垂直な方向に応力が生じている為である。 応力のうち法線方向の成分を法線応力、法線と垂直な成分を接線応力という。法線応力が法線と同じ方向の時の法線応力を張力、反対方向の時の法線応力を圧力という。 応力を具体的に書き表すため、連続体内に一点xを取り、微小な四面体を図のように定義する（本文と図の記号の違いに注意）と、xの周りの面積力の総和は K S {\displaystyle K_{S}} = p x ( n ) d S − p x ( e 1 ) d S 1 − p x ( e 2 ) d S 2 − p x ( e 3 ) d S 3 {\displaystyle =\mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {n} )\operatorname {d} S-\mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {e} _{1})\operatorname {d} S_{1}-\mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {e} _{2})\operatorname {d} S_{2}-\mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {e} _{3})\operatorname {d} S_{3}} = ( p x ( n ) − p x ( e 1 ) ⋅ e 1 − p x ( e 2 ) ⋅ e 2 − p x ( e 3 ) ⋅ e 3 ) d S {\displaystyle =(\mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {n} )-\mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {e} _{1})\cdot \mathbf {e} _{1}-\mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {e} _{2})\cdot \mathbf {e} _{2}-\mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {e} _{3})\operatorname {d} S} となる。 四面体に働く体積力をKVとすると、力の釣り合いから K S + K V = 0 {\displaystyle K_{S}+K_{V}=0} であるが、四面体の大きさを小さくしていくと、面積力KSが四面体の一辺の長さの2乗に比例して小さくなっていくのに対し、体積力 KVはそれより速く一辺の長さの3乗に比例して小さくなっていくので、KS/dSは0でなければならない。よって p x ( n ) = p x ( e 1 ) ⋅ e 1 + p x ( e 2 ) ⋅ e 2 + p x ( e 3 ) ⋅ e 3 {\displaystyle \mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {n} )=\mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {e} _{1})\cdot \mathbf {e} _{1}+\mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {e} _{2})\cdot \mathbf {e} _{2}+\mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {e} _{3}} が成立する。 p x ( e j ) {\displaystyle \mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {e} _{j})} のei方向成分をσxijとすれば、 p x ( n ) = ( e 1 e 2 e 3 ) ( σ x 11 σ x 21 σ x 31 σ x 21 σ x 22 σ x 23 σ x 13 σ x 23 σ x 33 ) ( n 1 n 2 n 3 ) {\displaystyle \mathbf {p} _{\mathbf {x} }(\mathbf {n} )={\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{\mathbf {x} }{}_{11}&\sigma _{\mathbf {x} }{}_{21}&\sigma _{\mathbf {x} }{}_{31}\\\sigma _{\mathbf {x} }{}_{21}&\sigma _{\mathbf {x} }{}_{22}&\sigma _{\mathbf {x} }{}_{23}\\\sigma _{\mathbf {x} }{}_{13}&\sigma _{\mathbf {x} }{}_{23}&\sigma _{\mathbf {x} }{}_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}} (B2) が成立する。ここでniはnの ei方向成分である。 行列 (σxij)i,jを連続体の応力テンソルという。
※この「連続体に働く力」の解説は、「連続体力学」の解説の一部です。
「連続体に働く力」を含む「連続体力学」の記事については、「連続体力学」の概要を参照ください。
- 連続体に働く力のページへのリンク
