次数

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:25 UTC 版)

「多変数多項式」の記事における「次数」の解説

詳細は「多項式の次数」を参照 一変数多項式に関するいくつかの定義は一般化される: 単項式とは、A の各元と MS の各元との積を言う。このときA の元をこの単項式の係数と呼ぶ。 単項式の次数は MS の元に現れる不定元の冪指数の和を言う。 非零多項式の次数は、この多項式に現れる単項式の次数のうち最大のものを言う。（零多項式の次数は負の無限大とする。） 定数多項式は零多項式または零次多項式である。 多項式の定数項は零次の単項式の係数である。 他方、例えば「モニック多項式」や「最高次単項式」のような概念はもはや意味を為さない。 整域上の多項式環では、一変数の場合と同様に、二つの非零多項式の積の次数は各多項式の次数の和に等しい。 A が可換体のとき、多項式環 A[X] はユークリッド環であった。これは多変数の場合には拡張されない。例えば、二変数多項式環 A[X, Y]は、X, Y の生成するイデアル (X, Y) が主イデアルでないから、主環でない（したがってユークリッド環にはならない）。 したがってより弱い性質を見る必要がある。一変数の場合において、次数の概念はヒルベルトの基定理「A がネーター環ならば多項式環 A[X] もそうである」を確立することを可能にする。 A[X1, …,Xn] の帰納的定義から、直ちに以下を得る: 定理 (ヒルベルトの基定理) A がネーター環ならば、有限個の変数に関する A-係数多項式環もそうである。 この結果は無限変数の場合には拡張できない。例えば A[(Xn)n∈ℕ] のイデアル列 (X0, …, Xn) (n ∈ ℕ) は真に増大するから、この環はネーターでない。 代数的整数論の基本的な結果に従えば、代数体の任意の整数環は有限型 ℤ-加群、より強く（英語版）、有限型可換 ℤ-多元環であり、したがってそれは多項式環の普遍性により ℤ[X1, …,Xn] の剰余環で、ネーターとなる。その帰結として 命題 代数体の（代数的）整数からなる任意の環はネーターである。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/18 21:25 UTC 版)

「零多項式」の記事における「次数」の解説

「多項式の次数」も参照 零多項式において係数が非零である項は存在しないから、非零係数を持つ項の変数が持つ冪指数の最小値という通常の定義によって次数を定めることはできない。零多項式の次数は明示的に「定義しない」とするか、負整数または負の無限大とする規約がよく用いられる。非零定数多項式の次数は明らかに 0 であるから、定数多項式に零多項式を含めないという規約を定めるならば、多項式に対して次数 0 であることと定数であることとを同じ意味に用いることができる。 多項式のユークリッド除法では、多項式 P を M で割った商 Q と剰余 R をP = QM + R (R = 0 または deg(R) < deg(M)) となるただ一組の (Q, R) として定義できる。零多項式の次数 deg(0) を負数と定義することは、単純に P = QM + R (deg(R) < deg(M)) と書けるという点において有意である。 整域上の非零多項式の和に対してその次数は deg(P + Q) = max{deg(P), deg(Q}), あるいは積について deg(PQ) = deg(P) + deg(Q), などが成り立つが、零多項式の次数を −∞ とすることで、P または Q が零多項式となる場合も除外せずに済む。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/21 02:42 UTC 版)

「多項式函数」の記事における「次数」の解説

詳細は「多項式の次数」を参照 非零多項式函数 f の次数とは ak が零でない最大の自然数 k をいう（ゆえに次数 n ならば an は必ず非零である）。零多項式の次数は −∞ であるものと約束する。 多項式函数の akxk の形の各項は（次数 k の）単項式函数と言う。最高次単項式の係数は先頭係数または最高次係数と呼び、また a0 は定数項係数（零次係数）と呼ぶ。