円形噴流における不安定性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/08 02:29 UTC 版)
「プラトー・レイリー不安定性」の記事における「円形噴流における不安定性」の解説
レイリーによって導かれた、表面張力による円形噴流の不安定性を以下に示す。ここでは、半径 R0、密度 ρ、表面張力係数 σ の無限に長い円柱を流れる非粘性流体を考え、重力の影響は無視する。圧力 p0 は円柱内で一定であり、境界における表面張力による法線応力のバランスによって p 0 = σ ∇ ⋅ n = σ R 0 {\displaystyle p_{0}=\sigma \nabla \cdot {\bf {{n}={\frac {\sigma }{R_{0}}}}}} と計算できる。ここで、界面において微小な節状の摂動の発達を考える。これにより、支配方程式の線形化ができる。攪乱を加えた柱状表面は以下の形で書ける。 R ~ = R 0 + ε e ω t + i k z {\displaystyle {\tilde {R}}=R_{0}+\varepsilon e^{\omega t+ikz}} ここで、攪乱の振幅は ε ≪ R0 であり、ω は不安定成長率、k は z 方向の攪乱の波数である。節状の摂動の対応する波長は 2π/k である。速度の摂動の動径方向成分を ~ur、軸方向成分を ~uz、圧力の摂動を ~p で表す。これらの摂動場をナビエ・ストークス方程式に代入し、ε のオーダーの項のみを残すと ∂ u ~ r ∂ t = − 1 ρ ∂ p ~ ∂ r ∂ u ~ z ∂ t = − 1 ρ ∂ p ~ ∂ z {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{r}}{\partial t}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\tilde {p}}}{\partial r}}\\{\frac {\partial {\tilde {u}}_{z}}{\partial t}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\tilde {p}}}{\partial z}}\end{aligned}}} となる。また、線形化された連続の方程式は ∂ u ~ r ∂ t + u ~ r r + ∂ u ~ z ∂ z = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}_{r}}{\partial t}}+{\frac {{\tilde {u}}_{r}}{r}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{z}}{\partial z}}=0} となる。ここで、速度や圧力の攪乱は表面攪乱の式と同じ形をとるとすると、速度と圧力の攪乱は u ~ r = R ( r ) e ω t + i k z , u ~ z = Z ( r ) e ω t + i k z , p ~ = P ( r ) e ω t + i k z {\displaystyle {\tilde {u}}_{r}=R(r)e^{\omega t+ikz},{\tilde {u}}_{z}=Z(r)e^{\omega t+ikz},{\tilde {p}}=P(r)e^{\omega t+ikz}} と書ける。これを上の3つの式に代入することで、摂動場を支配する線形化された方程式は ω R = − 1 ρ d P d r ω Z = − i k ρ P d R d r + R r + i k Z = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\omega R&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\\\omega Z&=-{\frac {ik}{\rho }}P\\{\frac {dR}{dr}}+{\frac {R}{r}}+ikZ&=0\end{aligned}}} となる。これらより、R(r) の微分方程式が以下のように得られる。 r 2 d 2 R d r 2 + r d R d r − ( 1 + ( k r ) 2 ) R = 0 {\displaystyle r^{2}{\frac {d^{2}R}{dr^{2}}}+r{\frac {dR}{dr}}-\left(1+\left(kr\right)^{2}\right)R=0} これは1次の修正ベッセル方程式に対応し、解はそれぞれ第一種 I1(kr)、第二種 K1(kr) の修正ベッセル関数で記述される。r → 0 で K1(kr) → ∞ なので、取りうる R(r) の形は R ( r ) = C I 1 ( k r ) {\displaystyle R(r)=CI_{1}(kr)} である。ここで、C は境界条件を適用することによって決定される定数である。 圧力は、以下のようになる。 P ( r ) = − ω ρ C k I 0 ( k r ) {\displaystyle P(r)=-{\frac {\omega \rho C}{k}}I_{0}(kr)} ここで、修正ベッセル関数の性質 I '0 (ξ) = I1(ξ) を用いた。 境界条件を適用する。自由表面における運動論的境界条件は ∂ R ~ ∂ t ∼ u ~ r {\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {R}}}{\partial t}}\sim {\tilde {u}}_{r}} であり、この条件を用いると C = ε ω I 1 ( k R 0 ) {\displaystyle C={\frac {\varepsilon \omega }{I_{1}(kR_{0})}}} が得られる。次に、自由表面における法線応力のつり合いを考えると p 0 + p ~ = σ ∇ ⋅ u → {\displaystyle p_{0}+{\tilde {p}}=\sigma \nabla \cdot {\vec {u}}} となる。 噴流表面の曲率半径を R1、R2 と書くと、σ∇⋅u→ = (1/R1 + 1/R2) で表される。ここで 1 R 1 = 1 R 0 + ε e ω t + i k z ≃ 1 R 0 − ε R 0 2 e ω t + i k z {\displaystyle {\frac {1}{R_{1}}}={\frac {1}{R_{0}+\varepsilon e^{\omega t+ikz}}}\simeq {\frac {1}{R_{0}}}-{\frac {\varepsilon }{R_{0}^{2}}}e^{\omega t+ikz}} 1 R 2 = ε k 2 e ω t + i k z {\displaystyle {\frac {1}{R_{2}}}=\varepsilon k^{2}e^{\omega t+ikz}} であり p ~ = − ε σ R 0 2 ( 1 − k 2 R 0 2 ) e ω t + i k z {\displaystyle {\tilde {p}}=-{\frac {\varepsilon \sigma }{R_{0}^{2}}}\left(1-k^{2}R_{0}^{2}\right)e^{\omega t+ikz}} が得られる。以上より、下記のような成長率 ω と波数 k の分散関係が得られる。 ω 2 = σ ρ R 0 3 k R 0 I 1 ( k R 0 ) I 0 ( k R 0 ) ( 1 − k 2 R 0 2 ) {\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho R_{0}^{3}}}kR_{0}{\frac {I_{1}(kR_{0})}{I_{0}(kR_{0})}}\left(1-k^{2}R_{0}^{2}\right)} これにより kR0 < 1 のとき、つまり、円柱の円周より大きな波長の攪乱に対して不安定となることがわかる。下に分散関係のグラフ（横軸 kR0、縦軸 ω）を示す。ただし、縦軸は √σ/ρR 30 で規格化してある。
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