ローレンツ変換
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ローレンツ変換（ローレンツへんかん、英: Lorentz transformation）は、2 つの慣性系の間の座標（時間座標と空間座標）を結びつける線形変換で、電磁気学と古典力学間の矛盾を回避するために、アイルランドのジョセフ・ラーモア（1897年）とオランダのヘンドリック・ローレンツ（1899年、1904年）により提案された。
アルベルト・アインシュタインが特殊相対性理論（1905年）を構築したときには、慣性系間に許される変換公式として、理論の基礎を形成した。特殊相対性理論では全ての慣性系は同等なので、物理法則はローレンツ変換に対して不変な形、すなわち同じ変換性をもつ量の間のテンソル方程式として与えられなければならない。このことをローレンツ不変性（共変性）をもつという。
幾何学的には、ミンコフスキー空間における 2 点間の世界間隔を不変に保つような、原点を中心にした回転変換を表す（ミンコフスキー空間でみたローレンツ変換節参照）。
概要
ローレンツ変換は、マイケルソン・モーリーの実験結果を矛盾なく説明する手段として提案された。ローレンツは、時間の流れや光速度はすべての基準座標系において同一と考えたため、「大きな速度で動く座標系では、2点間の距離（物体の長さ）は縮む」というローレンツ収縮を示した(ローレンツ・フィッツジェラルド収縮仮説)。しかし、ローレンツ収縮は実験結果と矛盾した。後に、アインシュタインは、光速度の不変性と物理法則の相対性（「物理法則はあらゆる慣性系間で同一である」）の 2 つを原理として、特殊相対性理論を築いた。そこでは、ローレンツ変換からの帰結として、時間の進み方が観測者によって異なることが示された。
ガリレイ変換は、等速運動をする慣性系間の座標変換であり、ニュートンの運動方程式は不変な形で変化するが、マクスウェルの方程式では満足されない古典的な座標変換である。ローレンツ変換は、マクスウェル方程式を不変な形で変換する。また慣性系の動く速度 v が、光速度 c に比べて十分小さい場合（v/c → 0 と見なせる場合）を考えると、ローレンツ変換はガリレイ変換を再現する。したがって、非相対論的な極限でガリレイ不変性が成立しているという事実もローレンツ変換で説明できる。
ローレンツ変換のうち、空間と時間が関与する方向への変換をローレンツブースト (英: Lorentz boost) と呼ぶ。特殊相対論が導く、我々の直感に反する事柄のほとんどは、このローレンツブーストからの帰結である。一方で、空間同士が関与する変換はただの空間回転である。
物理的導入
ローレンツ変換は、ある慣性系 S における空間および時間座標（あるいは任意の 4元ベクトル）を、x-軸に沿った S に対する相対速度 v で移動する別の慣性系 S′ へ変換する際に使用される群作用である。原点 (0, 0, 0, 0) を共有する、S における時空座標 (t, x, y, z) と S′ における時空座標 (t′, x′, y′, z′) で記述される事象の座標系は、以下のローレンツ変換によって関連づけられる。
歴史
ローレンツはこの変換がマクスウェル方程式を不変な形で変換することを、1900年に発見した。ローレンツは導光性エーテル仮説を信じており、この変換に適切な基礎を提供する相対性理論を発見したのは、アルベルト・アインシュタインであった。
ローレンツ変換は1904年に初めて発表されたが、当時これらの方程式は不完全であった。フランスの数学者アンリ・ポアンカレが、ローレンツの方程式を、今日知られている整合性の取れた 4 つの方程式に修正した。
ローレンツ＝フィッツジェラルド収縮
ローレンツの解釈
長さの収縮を参照
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相対論的解釈
アインシュタインの解釈によれば、観測者に対して運動する物体は縮んで観測される。
例として、x-軸方向に長さを持つ物体が、観測者 A （xyzw-座標系）に対して x-軸正方向に速度 v で等速直線運動する場合を考える (w = ct)。この物体と共に運動する観測者 B （x′y′z′w′-座標系）にはこの物体の長さが l で観測されるとする(w′ = ct′)。これはすなわち、観測者 B にとって同時刻に観測したときに、物体の端と端の x′-座標の値の差が l であることを示す。
t′ = 0 のとき、物体の片端が x′ = 0、もう一方の端が x′ = l にあるとする。このとき、物体の軌跡は {(x′, w′) | 0 ≤ x′ ≤ l} となり、右図薄青部である。ここで、
相対論
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| 基礎 | |
| 現象 | |
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| 発展 理論 |
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カテゴリ
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ローレンツ共変性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/07 08:34 UTC 版)
「ディラック方程式」の記事における「ローレンツ共変性」の解説
ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。 即ち、ローレンツ変換 x μ → x ′ μ = Λ μ ν x ν {\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }} ψ a ( x ) → ψ a ′ ( x ) = [ D ( Λ ) ] a b ψ b ( Λ − 1 x ) {\displaystyle \psi _{a}(x)\rightarrow \psi '_{a}(x)=[D(\Lambda )]_{a}{}^{b}\,\psi _{b}(\Lambda ^{-1}x)} (μ,ν=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、 ( i γ μ ∂ μ − m ) ψ ′ ( x ) = 0 {\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi '(x)=0} となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4×4行列 D(Λ) は [ D ( Λ ) ] a c [ γ μ ] c d [ D ( Λ ) − 1 ] d b = ( Λ − 1 ) μ ν [ γ ν ] a b {\displaystyle [D(\Lambda )]_{a}{}^{c}\,[\gamma ^{\mu }]_{c}{}^{d}\,[D(\Lambda )^{-1}]_{d}{}^{b}=(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\nu }[\gamma ^{\nu }]_{a}{}^{b}} によって定まる。 ワイル表示においては行列式 1 の2×2行列 M を用いて D ( Λ ) = ( M 0 0 ( M † ) − 1 ) {\displaystyle D(\Lambda )={\begin{pmatrix}M&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &(M^{\dagger })^{-1}\\\end{pmatrix}}} M σ μ M † = ( Λ − 1 ) μ ν σ ν {\displaystyle M\sigma ^{\mu }M^{\dagger }=(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\nu }\sigma ^{\nu }} と書くことができる。例えば、z-方向のブーストの場合は Λ μ ν = ( cosh β 0 0 sinh β 0 1 0 0 0 0 1 0 sinh β 0 0 cosh β ) {\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }={\begin{pmatrix}\cosh \beta &0&0&\sinh \beta \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh \beta &0&0&\cosh \beta \\\end{pmatrix}}} M = ( e − β / 2 0 0 e β / 2 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}e^{-\beta /2}&0\\0&e^{\beta /2}\\\end{pmatrix}}} となる。
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