ローレンツ力と運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)
「特殊相対性理論」の記事における「ローレンツ力と運動方程式」の解説
今、電荷 q を持った質点があるとし、この質点の4元速度を u→ とし、u→ の反変成分を (u0, u1, u2, u3) とする。このとき、この質点が電磁場から受ける4元力を、電磁場テンソル Fαβ を用いて f α = q F α β u β {\displaystyle f^{\alpha }=qF^{\alpha \beta }u_{\beta }} によって定義すると、この4元力からできる質点の運動方程式は d p α d τ = q F α β u β {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \beta }u_{\beta }} である。ここで pβ は質点の4元運動量の β 成分で、τ は質点の固有時間である。 上の運動方程式は α = 0, 1, 2, 3 に対して定義されているが、4元運動量と4元速度の空間成分（の共変表現）p = (p1, p2, p3), v = (u1, u2, u3) に着目すると、電磁場テンソルの定義より、運動方程式の空間成分は 左辺の空間成分 = γ d p d t {\displaystyle =\gamma {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}} 右辺の空間成分 = γ q ( E + v × B ) {\displaystyle =\gamma q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})} となることがわかる。ここで γ はローレンツ因子 1 / √1 − (|v|/c)2 である。 すなわち相対論における運動方程式の空間成分は、ローレンツ力に関する運動方程式 d p d t = q ( E + v × B ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})} と完全に一致する。 運動方程式の時間成分に関しては、cp0 が質点のエネルギー E を表していた事に着目すると、 左辺の時間成分 = γ c d E d t {\displaystyle ={\frac {\gamma }{c}}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}} 右辺の時間成分 = γ c ( q E ⋅ v ) {\displaystyle ={\frac {\gamma }{c}}(q{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {v}})} なので、下記の式が従う： d E d t = q E ⋅ v = q ( E + v × B ) ⋅ v . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=q{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {v}}=q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {v}}.} 右辺は単位時間当たりに電磁場のローレンツ力が質点に対してした仕事なので、この式はローレンツ力による仕事がエネルギーに変わる事を意味している。すなわちこれは、エネルギー保存則にあたる式である。
※この「ローレンツ力と運動方程式」の解説は、「特殊相対性理論」の解説の一部です。
「ローレンツ力と運動方程式」を含む「特殊相対性理論」の記事については、「特殊相対性理論」の概要を参照ください。
- ローレンツ力と運動方程式のページへのリンク
