シュワルツシルト計量

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シュワルツシルト解

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/19 15:18 UTC 版)

一般相対性理論

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$ フラムの双曲面のプロット。重力井戸の概念と混同してはならない。 シュワルツシルト解の R > rs における空間曲率を左図のように図示することができる。シュワルツシルト解の一定時間・赤道面 (θ = π/2, t = const.) における断面を考える。この平面上を運動する粒子の位置は残りのシュワルツシルト座標 (r, φ) により表わすことができる。ここにもうひとつ仮想のユークリッド次元 w（時空の一部ではない）を追加したところを想像してみよう。そして、(r, φ) 平面を w 方向に次のように窪んだ曲面（フラムの双曲面）と置き換える。 $w=2{\sqrt {r_{\mathrm {s} }\left(r-r_{\mathrm {s} }\right)}}.$

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シュワルツシルト計量

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/09 02:15 UTC 版)

「シュワルツシルト解」の記事における「シュワルツシルト計量」の解説

符号 (1, −1, −1, −1) のシュワルツシルト座標（英語版）を用いると、シュワルツシルト計量の線素（英語版）は以下のような式で書き下される。 c 2 d τ 2 = ( 1 − r s r ) c 2 d t 2 − ( 1 − r s r ) − 1 d r 2 − r 2 ( d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d φ 2 ) ここで、以下のような変数および定数を用いた。 τ は固有時間（試験粒子のたどる世界線に沿って動く時計で測った時間） c は光速 t は座標時（質量から無限に遠い静的な時計で測った時間） r は動径座標 θ は余緯度座標（北極からラジアン単位で測った角度） φ は経度座標（単位はラジアン） rs は質量をもつ物体に対応するシュワルツシルト半径（M により rs = 2GM/c2 のように決まるスケールファクター。ここで G は万有引力定数である） この解は、ニュートン力学において質点のつくる重力場に相当する。 ほとんどの場合、rs/r は極端に小さい。たとえば地球のシュワルツシルト半径 rs はおよそ 6997890000000000000♠8.9 mm, 地球の 7005330000000000000♠3.3×105 倍の質量を持つ太陽でさえそのシュワルツシルト半径はおよそ 7003300000000000000♠3.0 km である。地球の表面においてさえ、ニュートン重力からの一般相対性理論によるずれは10億分の1程度にすぎない。この比は中性子星などの極端に密度の高い物体に対してしかブラックホールにおいて見られるような大きな値にはならない[要出典]。 シュワルツシルト計量は何もない空間についてのアインシュタイン方程式の解であり、重力源の「外側」についてのみ意味を持つ。つまり、球状物体の半径を R とすると r > R についてしか適用できない。重力源となる物体の外部と内部の両方を取り扱うためには、シュワルツシルトの内部解（英語版）を初めとする内部解と r = R において適切に接続する必要がある。