Quantum circuitとは？わかりやすく解説

量子情報理論における量子回路（りょうしかいろ）とは、量子ゲートの組み合わせにより記述される量子計算モデルである。古典的コンピュータの回路がビットレジスタの不可逆変換であるのに対し、量子回路は量子ビットレジスタの可逆変換を行う。各回路素子である量子ゲートやそれらの間の結合を表現するための記法として、現在主にペンローズのグラフィカル記法が用いられている。

可逆な古典的論理ゲート

一般に、NOTゲート以外の古典的コンピュータの基本論理ゲートは不可逆演算であり、入力から出力にかけて情報が失われる。たとえば2入力ANDゲートにおいて出力ビットが0であったという結果のみから、それが01, 10, 00のどの入力ビットの組み合わせから得られたものなのか知ることは不可能である。

ただし、古典的コンピュータにおいても、NOTゲートに代表されるように、任意の長さのビット列に対して可逆ゲートを構成することができないわけではない。理想的には、可逆ゲートは情報の損失と物理学的エントロピーの増加に伴う電力消費や熱損失の問題を生じないため、応用面でも関心が寄せられている。一般に可逆ゲートは、ビット列を入力として受け取り、同じ長さのビット列を出力する可逆な関数として表される。長さnのビット列は、0と1だけで構成される文字列x₁x₂ ... x_n∈{0,1}ⁿとして表現され、このようなビット列は全部で2ⁿ通り存在する。

より厳密には、可逆ゲートとは、ビット列の集合{0,1}ⁿから自身への全単射写像fとして表現される。このような可逆ゲートfの例としては、たとえば入力に定められた置換を適用する写像などが挙げられる。現在、こうした置換を用いて可逆な古典的論理ゲートを構成する手法は、真偽表などを用いて簡単に表現できる範囲の小さいn（例： n = 1, 2, 3）についてのみ研究されている。

量子論理ゲート

量子ゲートを定義するため、古典的論理ゲートの場合と同様、n-量子ビットの置換について考える。古典的なビット列空間{0,1}ⁿの量子版はヒルベルト空間である。

H_{\operatorname {QB} (n)}=\ell ^{2}(\{0,1\}^{n}).

この方法は古典的結合(classical assemblage)と呼ばれる。（この概念は、以下に引用するKitaevの先駆的な論文の技術的定義に対応している。）。これらの可逆機械を構成するために、中間的な機械も可逆であることを確認することが重要である。この条件は、計算の途中で「ゴミ」が生成されないことを保証する。（正味の物理的効果は、エントロピーを増加させることである。これは、この演習を行う動機の1つである。）

これで、トフォリゲートが汎用ゲートであることを示すことができる。これは、任意の可逆的な古典的なnビット回路hが与えられた場合、上記の方法でトフォリゲートの古典的結合により、次のような（ n + m ）ビット回路fを生成できることを意味する。

f(x_{1},\ldots ,x_{n},\underbrace {0,\dots ,0} _{m})=(y_{1},\ldots ,y_{n},\underbrace {0,\ldots ,0} _{m})

この方法でゲートを接続することで、 (n+m-k)-量子ビット空間におけるユニタリ作用素が生成されるという事実は簡単に確認できる。実際の量子コンピュータでは、ゲート間の物理的な接続は、デコヒーレンスが発生する可能性がある場所の1つであるため、工学上の課題である。

普遍性、すなわち、少数の種類のゲートの組み合わせのみで、任意の量子回路が構成できることも証明されている。こうした量子回路の普遍性定理(universality theorems)は、たとえばあるθに対する1-量子ビットの位相ゲートU_θと、2-量子ビットCNOTゲート W _CNOTの組に対してのものが知られている。

ただし、量子回路の普遍性定理は、古典的回路の普遍性定理よりも弱い主張になっている。なぜなら、任意の可逆n-量子ビット回路が、これら2つの基本ゲートから組み立てられた回路によって任意に適切に近似できることのみを主張しているからである。また、古典的回路とは異なり、非可算な角度θに対して同じ量だけの位相ゲートが存在するため、少なくともこれらは有限の{(U_θ, W_CNOT)}のみでは表現できないことにも注意が必要である。

量子計算

ここまでで、量子回路を使用して計算を実行する方法は示していなかった。多くの重要な数値問題は有限次元空間でユニタリ変換Uを計算することに還元されるため（有名な離散フーリエ変換が主な例）、変換Uを実行するようにいくつかの量子回路を設計できると期待できる。原理的には、一方が入力の計算基底状態の適切な重ね合わせとして、n-量子ビットの状態ψを用意し、出力Uψを測定するだけでよい。ただし残念ながら、これには2つの課題がある。

観測者が任意の計算基底状態における位相ψを測定することは不可能であり、正確な出力を読み取る方法がない。これは量子力学における測定の性質である。
入力状態である重ね合わせψを用意する効果的な方法が今のところない。

これは、離散フーリエ変換の量子回路が他の量子回路の中間ステップとして使用できることを否定するものではないが、実用化は一層困難である。実際、量子計算は確率的であるといわれている。

以下では、量子回路を確率的な古典的コンピュータによって模倣する数理モデルを紹介する。まず、レジスタ空間H _QB(r)上の r-量子ビット回路U、

H_{\operatorname {QB} (r)}\rightarrow H_{\operatorname {QB} (r)}.

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