連続線型写像と双対空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/05 14:20 UTC 版)
「バナッハ空間」の記事における「連続線型写像と双対空間」の解説
詳細は「有界作用素」を参照 同じ基礎体 K 上のバナッハ空間 V, W に対し、連続 K-線型写像 A: V → W 全体の成す空間を L(V, W) で表す。無限次元空間の場合には任意の線型写像が自動的に連続となるわけではない。一般にノルム空間上の線型写像が連続となることと、それが単位閉球体上の有界となることとは同値である。従て、線型空間 L(V, W) に作用素ノルム ‖ A ‖ = sup { ‖ A x ‖ W ∣ x ∈ V , ‖ x ‖ V ≤ 1 } {\displaystyle \|A\|=\sup\{\|Ax\|_{W}\mid x\in V,\ \|x\|_{V}\leq 1\}} を入れることができて、このノルムに関して L(V,W) はバナッハ空間を成す。このことは仮定を V がノルム空間である場合に緩めても成り立つ。 V = W である場合、空間 End(V) = L(V) := L(V, V) は写像の合成を積として単位的バナッハ環を成す。 V がバナッハ空間で K をその基礎体（つまり実数体 R もしくは複素数体 Cの何れか）とすると、K は（その絶対値をノルムとして）それ自身バナッハであり、V から K への連続線型函数の空間 L(V, K) として、V の双対空間（連続的双対、位相的双対）V′ を定義することができる。V′ もまた（作用素ノルムに関して）バナッハ空間になる。双対空間を介して V に新たな位相（弱位相）を定義することができる。 ここで写像の連続性は本質的であることに注意せよ。V が無限次元ならば、連続でない線型写像が存在し、従ってそれは有界でないから、K への線型写像全体の成す空間 V∗ はバナッハでない（V∗ は V′ との区別のために代数的双対とも呼ばれる）。代数的双対空間 V∗ を使っても弱位相を誘導することができるが、（V′ ⊆ V∗）これは連続的双対から誘導されるものよりも細かいものになる。 V から V′′（双対の双対; 二重双対空間）への自然な写像 F が F ( x ) ( f ) := f ( x ) ∈ K , ( x ∈ V , f ∈ V ′ ) {\displaystyle F(x)(f):=f(x)\in \mathbb {K} ,\quad (x\in V,\,f\in V')} で定義される。F(x) は V′ から K への写像であるから、これは確かに V′′ の元であり、従って写像 F: x → F(x) は V → V′′ なる写像を定めていることがわかる。ハーン・バナッハの定理の帰結として、この写像は単射かつ等距変換である。さらにこれが全射でもあるときにはバナッハ空間 V は回帰的 (reflexive; 再帰的、反射的）であると言う。反射的空間は幾何学的に重要な性質を多く持つ。バナッハ空間が反射的であるための必要十分条件は、その双対空間が反射的となることであり、これはまた、その単位球体が弱位相に関してコンパクトとなることと同値である。 例えば ℓp は 1 < p < ∞ なるとき反射的であるが、ℓ1 および ℓ∞ は反射的でない。p < ∞ のとき、ℓp の双対は ℓq になる。ただし p と q とは 1/p + 1/q = 1 なる関係にあるものとする。詳細は L p-空間の項目を見よ。
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