粒子の追跡
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/19 14:31 UTC 版)
「Particle-in-Cell法」の記事における「粒子の追跡」の解説
超粒子を用いる場合でも、通常シミュレートする超粒子の数は105個以上と非常に多い。運動については各粒子について個別に計算する必要があるため、多くの場合においてPICシミュレーションで最も時間がかかる部分は particle mover コードである。従って、この部分は高い精度と速度をもつ必要があり、様々なスキームの最適化に多大な労力が費やされている。 運動方程式を解く際に使用されるスキームは、陰解法と陽解法の2つに分類される。陰解法 (例えば修正オイラー法) では、同じ時間ステップ内で更新される場の情報から粒子速度を計算するが、陽解法では、前回の時刻における力の情報のみを使用するため、ソルバーは比較的単純で高速に動作する。ただしその代わりに、陽解法では小さい時間ステップ幅が必要となる。PICシミュレーションでは、リープ・フロッグ法 がよく使用される。これは、2次の陽解法に分類される。また、ローレンツ力のうちの電場による加速と磁場による加速を半ステップごとに分離して計算するボリス法もよく使用される。 プラズマへ適用させた場合の典型的なリープ・フロッグ法は、次の形式をとる: x k + 1 − x k Δ t = v k + 1 / 2 {\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {x}}_{k+1}-{\boldsymbol {x}}_{k}}{\Delta t}}={\boldsymbol {v}}_{k+1/2}} v k + 1 / 2 − v k − 1 / 2 Δ t = q m ( E k + v k + 1 / 2 + v k − 1 / 2 2 × B k ) {\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {v}}_{k+1/2}-{\boldsymbol {v}}_{k-1/2}}{\Delta t}}={\frac {q}{m}}\left({\boldsymbol {E}}_{k}+{\frac {{\boldsymbol {v}}_{k+1/2}+{\boldsymbol {v}}_{k-1/2}}{2}}\times {\boldsymbol {B}}_{k}\right)} ここで、添え字 k {\displaystyle k} は前回の時刻における量である事を示し、 k + 1 {\displaystyle k+1} はその次の時刻における量である事を示す(つまり、 t k + 1 = t k + Δ t {\displaystyle t_{k+1}=t_{k}+\Delta t} である)。速度は、通常の時刻 t k , t k + 1 , . . . {\displaystyle t_{k},t_{k+1},...} ではなく、それらの中間の時刻 t k − 1 / 2 , t k + 1 / 2 , . . . {\displaystyle t_{k-1/2},t_{k+1/2},...} で計算される。 速度 ( v k + 1 / 2 {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{k+1/2}} 等) はボリス法から求める事ができる。典型的なボリス法は次の形式をとる: x k + 1 = x k + Δ t v k + 1 / 2 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k+1}={\boldsymbol {x}}_{k}+{\Delta t}\,{\boldsymbol {v}}_{k+1/2}} v k + 1 / 2 = u ′ + q ′ E k {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{k+1/2}={\boldsymbol {u}}'+q'{\boldsymbol {E}}_{k}} ここで、 u ′ = u + ( u + ( u × h ) ) × s {\displaystyle {\boldsymbol {u}}'={\boldsymbol {u}}+({\boldsymbol {u}}+({\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {h}}))\times {\boldsymbol {s}}} u = v k − 1 / 2 + q ′ E k {\displaystyle {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {v}}_{k-1/2}+q'{\boldsymbol {E}}_{k}} h = q ′ B k {\displaystyle {\boldsymbol {h}}=q'{\boldsymbol {B}}_{k}} s = 2 h / ( 1 + h 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {s}}=2{\boldsymbol {h}}/(1+h^{2})} q ′ = Δ t × ( q / 2 m ) {\displaystyle q'=\Delta t\times (q/2m)} である。 ボリス法は長期的に優れた精度を持つため、荷電粒子を追跡する際の事実上の標準となっている。非相対論的なボリス法が長期的に優れた精度を持つ理由としては、シンプレクティック性を持たないにも関わらず、相空間の体積が保存されるためである事が分かっている。一般にシンプレクティック多様体上のハミルトンフローの性質はボリススキームにも当てはまり、プラズマのマルチスケール（英語版）ダイナミクスの解析には効果的である。また相対論的なボリス法についても、相空間の体積が保存するように修正する事で、交差した電磁場の中で一定速度の解が得られる事が分かっている。
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