特性関数とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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特性関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/09 00:53 UTC 版)

「レヴィ分布」の記事における「特性関数」の解説

レヴィ分布の特性関数は以下の式で与えられる。 φ ( t ; μ , c ) = e i μ t − − 2 i c t . {\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.} この関数は安定分布で使用される形式を用いると以下のように書ける。ただし α = 1/2, β = 1： φ ( t ; μ , c ) = e i μ t − | c t | 1 / 2 ( 1 − i sign ⁡ ( t ) ) . {\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}~(1-i~\operatorname {sign} (t))}.}

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/09 00:54 UTC 版)

「安定分布」の記事における「特性関数」の解説

分布の特性関数 ψ(z) は、4つのパラメータ α, β, γ, δ によって以下のように表すことができる。 φ ( z ) = exp ⁡ [ i δ z − γ | z | α { 1 + i β sgn ⁡ ( z ) ω ( z , α ) } ] {\displaystyle \varphi (z)=\exp \left[i\delta z-\gamma |z|^{\alpha }\left\{1+i\beta \operatorname {sgn}(z)\omega (z,\alpha )\right\}\right]} ω ( z , α ) = { tan ⁡ π α 2 ( α ≠ 1 ) 2 π log ⁡ | z | ( α = 1 ) {\displaystyle \omega (z,\alpha )=\left\{{\begin{matrix}\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}&(\alpha \neq 1)\\{\frac {2}{\pi }}\log |z|&(\alpha =1)\end{matrix}}\right.} ただし、0 < α ≤ 2, −1 ≤ β ≤ 1, γ > 0、sgn (x) は x の符号関数。α は特性指数と呼ばれ、0 < α ≤ 2 の範囲の値をとる安定分布を特徴づける最も重要な量である。安定分布の指数という場合は通常この α のことを指す。α は分布の裾の厚みの尺度であり、小さいほど裾が広い。歪度指数、あるいは非対称パラメータとも呼ばれる β は分布の対称性を支配し −1 ≤ β ≤ 1 の値をとり、β = 0 のときは左右対称な分布となる。位置母数 δ は分布全体を平行移動するパラメータである。規模母数 γ は X の縮尺を変更するパラメータである。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/04 01:23 UTC 版)

「ガンマ分布」の記事における「特性関数」の解説

ガンマ分布の確率変数を X とするとき、特性関数 φX(t) は ϕ X ( t ) = E ( e i X t ) = 1 ( 1 − i θ t ) k = ( λ λ − i t ) k {\displaystyle \phi _{X}(t)=E(e^{iXt})={\frac {1}{(1-i\,\theta \,t)^{k}}}=\left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{k}} で与えられる。これはパラメータ（平均）θ とする指数分布の特性関数を k 乗したものに一致する。このことは、特に k を整数としたときに、パラメータ θ の指数分布に従う k 個の確率変数が独立であるとき、その和が形状母数 k、尺度母数 θ のガンマ分布に従うことを表している。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/31 14:31 UTC 版)

「一般化双曲型分布」の記事における「特性関数」の解説

特性関数は以下の式で与えられる。 φ ( u ) = exp ⁡ ( i u μ ) ( α 2 − β 2 ( α 2 − ( β + i u ) 2 ) ) λ / 2 K λ ( δ α 2 − ( β + i u ) 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) {\displaystyle \varphi (u)=\exp(iu\mu )\left({\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-(\beta +iu)^{2})}}\right)^{\lambda /2}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +iu)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}}