他の関数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/30 19:16 UTC 版)
遷移点の扱いが同じであれば、連続一様分布の確率密度関数はヘヴィサイドの階段関数を使って次のように表すこともできる。 f ( x ) = H ( x − a ) − H ( x − b ) b − a {\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}}} あるいは、矩形関数を使って次のように表すこともできる。 f ( x ) = 1 b − a rect ( x − ( a + b ) / 2 b − a ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {x-(a+b)/2}{b-a}}\right)} 符号関数の遷移点の解釈には曖昧さがない。遷移点が符号関数と同じく半分の値をとるとした場合、一様分布は符号関数を使って次のように表せる。 f ( x ) = sgn ( x − a ) − sgn ( x − b ) 2 ( b − a ) {\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {sgn}(x-a)-\operatorname {sgn}(x-b)}{2(b-a)}}}
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他の関数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/05 19:03 UTC 版)
積率母関数に関連して、確率論にはいくつかの変換が存在する。 特性関数 特性関数 φ X ( t ) {\displaystyle \varphi _{X}(t)} と積率母関数は φ X ( t ) = M i X ( t ) = M X ( i t ) {\displaystyle \varphi _{X}(t)=M_{iX}(t)=M_{X}(it)} という関係にある。すなわち、特性関数は iX の積率母関数であり、X の積率母関数を虚数軸で評価したものである。 キュムラント母関数 キュムラント母関数は積率母関数の対数として定義される。特性関数の対数をキュムラント母関数とする場合もあるが、通常そちらは「第2」キュムラント母関数と呼ぶ。 確率母関数 確率母関数は G ( z ) = E [ z X ] {\displaystyle G(z)=E[z^{X}]\,} で定義される。したがって、 G ( e t ) = E [ e t X ] = M X ( t ) {\displaystyle G(e^{t})=E[e^{tX}]=M_{X}(t)\,} である。
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他の関数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/24 15:07 UTC 版)
シグモイド関数は、双曲線正接関数 tanh x = e x − e − x e x + e − x {\displaystyle \tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}} を使って ς a ( x ) = tanh ( a x / 2 ) + 1 2 {\displaystyle \varsigma _{a}(x)={\frac {\tanh(ax/2)+1}{2}}} とも表せる。またロジスティック関数 N = K 1 + exp r K ( t 0 − t ) {\displaystyle N={\frac {K}{1+\exp {rK(t_{0}-t)}}}} において r = a , K = 1 , t 0 = 0 {\displaystyle r=a,K=1,t_{0}=0} とした場合にあたる。
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