倍数判定と素数

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倍数判定と素数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/29 05:37 UTC 版)

「六進法」の記事における「倍数判定と素数」の解説

十進法と六進法は、「10が素数二つの積」「10－1が6未満の素数かその冪数」という同じ構造を持っており、2の冪数の扱いは同じになる。しかし、六進法では「5＋1 = 10」「2×3 = 10」となるので、十進法と比べた時に、3と5の立場が逆転するだけではなく、9(＝13(6)＝32)と5の立場も逆転する。つまり、六進法では3とその冪数が優位に立ち、5とその冪数は劣位に落ちる。更に、2と3の冪指数が同じなので、2の冪数と3の冪数が同等の地位になる。 3と5が逆転する例 六進法では、3の倍数は一の位が3か0のどれかになる。一の位が3ならば3の倍数であり、素数にはならない。 六進法では、11（七）以後の素数は、一の位が1か5のどれかである。11(七)から100(三十六)までの素数：11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51 101(三十七)から300(百八)までの素数：101,105,111,115,125,135,141,151,155,201,211,215,225,241,245,251,255 十進法では1/5が0.2（つまり十分の二）だが、六進法では1/3が0.2（つまり六分の二）になる。同じく、六進法では、2の冪数の逆数は3の冪数になり、3の冪数の逆数は2の冪数になる。例として、冪指数が3だと、23 = 12、33 = 43、2-3 = 0.043、3-3 = 0.012 となる。 「3×5」の数は、十進法では「15」「十五」となり5の倍数の仲間だが、六進法では「23」「二六三」となり3の倍数の仲間になる。.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}3×5/100の小数は、十進法では0.15、六進法では0.23となるが、既約分数が十進法では「二十分の三」「素因数分解すると3/22×5」になるが、六進法では「二六分の五」「素因数分解すると5/22×3」になる。仲間になる冪数も、十進数0.15は25 (＝52)だけに対して、六進数0.23は13 (＝32)と43 (＝33)の計二つになる。 小数に変えると37(10) = 101(6)の倍数が循環する無限小数になる単位分数は、十進法が1/3、1/32 (= 1/9)、1/33 (= 1/27(10)) に対して、六進法では 1/5 や 1/11(6) (= 1/7) になる。例：2/5 = 0.2222…（2222 = 518(10)）、4/11 = 0.3232…（3232 = 740(10)） 六進数では、5p ÷ 3p（pは同じ冪指数）の小数点を消した値は、十の冪数になる。例：52÷32 = 41÷13 = 2.44（244(6)＝100(10)） 例：53÷33 = 325÷43 = 4.344（4344(6)＝1000(10)） 9と5が逆転する例 乗算表は「九九・八十一」ではなく「五五・四六一」という呼び方になるが、五の段は「一の位」と「六の位」の和が5になる。また、5の倍数は、各位の数の和も5の倍数になる。例：2521（= 625(10)）→ 2＋5＋2＋1 = 14 → 1＋4 = 5 例：4344（= 1000(10)）→ 4＋3＋4＋4 = 23 → 2＋3 = 5 401や4001など、「4×6n + 1」となる整数は、5の倍数になる。例えば、401は十進法の145であり、4001は十進法の865である。 3の冪数は一の位も3になる。「100の1/4」と「100の3/4」は両方とも3の冪数になる上に、「100のm/4」となる整数は全て9の倍数である。1/9(10) (= 1/13(6))も0.04で、「100のm/9」となる整数は全て4の倍数である。100×(1/4) = 13 = 32 = 9(10) 100×(2/4) = 30 = 32×2 = 18(10) 100×(3/4) = 43 = 33 = 27(10) 100 = 32×22 = 36(10) 十進法では乗算表が81(10)（34＝81）種類になるが、六進法では16(10)（24＝24）の倍数が81(10)（34＝213）種類になる。同じく、81(10)（213）の倍数も16(10)（24）種類になる。倍数表を乗算表に例えると、十進乗算表での9倍＝13(6)倍の欄には、144(10)（400）の倍数が来る。例：「4×5 = 20」→「24×52 = 2212」。「7×9 = 63」→「24×143 = 4400」。「8×1 = 8」→「24×144 = 4424」。「9×9 = 81」→「24×213 = 10000」。 81(10)（213）の倍数のうち奇数は、下四桁が 0213, 1043, 1513, 2343, 3213, 4043, 4513, 5343 のどれかになる。例：13213 = 2025(10) → 213×41 = (81×25)(10) 例：101043 = 8019(10) → 213×243 = (81×99)(10)