不完全性定理によるヒルベルト・プログラムの発展とは? わかりやすく解説

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不完全性定理によるヒルベルト・プログラムの発展

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 10:04 UTC 版)

ゲーデルの不完全性定理」の記事における「不完全性定理によるヒルベルト・プログラムの発展」の解説

無矛盾性」、「ヒルベルト・プログラム」、および「数学基礎論」も参照 フランセーンによれば数学者ダヴィット・ヒルベルトは「数学に“イグノラビムスignorabimus, 永遠に知られないこと)”はない」と述べた数学上不可知無く全ての問題最終的に解決されるというヒルベルトのこの見方は、「ノン・イグノラビムス」として知られている。ゲーデルの不完全性定理は、「決してこのヒルベルト楽天的な見方否定するものではない」とされている。何故なら、不完全性定理によって否定されたものとは単に、「ノン・イグノラビムス」へ到達する手段一つとしてヒルベルト提案したもの ―― すなわち、「すべての数学の問題解けるような単一形式体系」 ―― であり、「ノン・イグノラビムス」自体否定されていないからである。 実際ゲーデル自身は以下のような、「ノン・イグノラビムス」的なヒルベルト流の見解持っていた。 「あらゆる算術問題その中で解決する単一形式体系定めることは不可であっても新し公理推論規則による数学拡張限りなく続いていくなかで、どんな算術問題もいずれどこかで決定されるという可能性排除されていない。」 こうした見解に基づきゲーデル現代数学拡張する手段として「巨大基数公理」を提案した哲学等において「不完全性定理ヒルベルトのプログラム破壊した」という類の発言よくあるが、これは実際不完全性定理ゲーデル見解とは異なる。正確に言えばヒルベルト目的数学の「無矛盾性証明」)を実現するには手段ヒルベルト・プログラム)を拡張する必要があるということゲーデル不完全性定理通して示したのだった日本数学会編集した岩波 数学辞典第4版では、不完全性定理について次の通り記述されている。 「ゲーデル書いているように,有限立場特定の演繹体系として規定されるものではないから,彼の結果ヒルベルト企図直接否定するものではなく実際この定理発見後無矛盾性証明のための様々な方法論が開発されている.」 「ゲンツェン無矛盾性証明」も参照 述語論理式を自然数論体系内に構成し証明形式的に進めるために、ゲーデルゲーデル数化という操作導入した自由変数論理式証明図などを自然数コード化証明可能、反証可能などの概念数論的関数として表現するこのように論理式証明数学的に表現して数学内に埋め込む上記の手法は、数学そのもの分析する超数学メタ数学)」を、分析べき数学の中に写像する技法先駆けであり、その後数学基礎論理論計算機科学でよく用いられるうになる

※この「不完全性定理によるヒルベルト・プログラムの発展」の解説は、「ゲーデルの不完全性定理」の解説の一部です。
「不完全性定理によるヒルベルト・プログラムの発展」を含む「ゲーデルの不完全性定理」の記事については、「ゲーデルの不完全性定理」の概要を参照ください。

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