フーリエ変換とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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フーリエ変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 00:12 UTC 版)

「sinc関数」の記事における「フーリエ変換」の解説

フーリエ変換について： rect ⁡ x ↔ F sinc ⁡ f = sinc ⁡ ω 2 π , {\displaystyle \operatorname {rect} x\leftrightarrow ^{\mathfrak {F}}\operatorname {sinc} f=\operatorname {sinc} {\frac {\omega }{2\pi }},} ただし、 rect ⁡ x = { 1 , ( | x | ≤ 1 / 2 ) 0 , ( | x | > 1 / 2 ) {\displaystyle \operatorname {rect} x={\begin{cases}1,&(|x|\leq 1/2)\\0,&(|x|>1/2)\end{cases}}} ただし、 f ( x ) ↔ F F ( ω ) {\displaystyle f(x)\leftrightarrow ^{\mathfrak {F}}F(\omega )} はフーリエ変換対、 rect ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {rect} (x)} は（単位）矩形関数。つまり、矩形関数のフーリエ変換はsinc関数、sinc関数のフーリエ変換は矩形関数である。

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フーリエ変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/02 21:12 UTC 版)

「ランプ関数」の記事における「フーリエ変換」の解説

ランプ関数のフーリエ変換は次の通りとなる。 F { R ( x ) } ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)} = {\displaystyle =} ∫ − ∞ ∞ R ( x ) e − 2 π i f x d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx} = {\displaystyle =} i δ ′ ( f ) 4 π − 1 4 π 2 f 2 {\displaystyle {\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}} ここで δ(x) はディラックのデルタ関数（式中では導関数が使用されていることに注意）。

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フーリエ変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/01 23:22 UTC 版)

「運動量演算子」の記事における「フーリエ変換」の解説

量子力学における運動量のフーリエ変換は、位置演算子であることを示すことができる。フーリエ変換は運動量基底を位置基底に変える。以下の議論ではブラ-ケット記法を用いる。 ψ = ψ(x) を ⟨ψ|ψ⟩ = 1 である波束とし、ψ′ を ψ のフーリエ変換とすると、 ⟨ ψ | p ^ | ψ ⟩ = h ⟨ ψ ′ | x ^ | ψ ′ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle =h\langle \psi '|{\hat {x}}|\psi '\rangle } よって運動量はプランク定数 h と空間周波数との積で表される。これはエネルギーが h と時間周波数との積で表されることと類似している。 ⟨ x | p ^ | ψ ⟩ = − i ℏ d d x ψ ( x ) {\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\psi (x)} 運動量基底における位置演算子の作用も同様に、 ⟨ p | x ^ | ψ ⟩ = i ℏ d d p ψ ( p ) {\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\psi (p)} またその他の便利な関係として、 ⟨ p | x ^ | p ′ ⟩ = i ℏ d d p δ ( p − p ′ ) {\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\delta (p-p')} ⟨ x | p ^ | x ′ ⟩ = − i ℏ d d x δ ( x − x ′ ) {\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\delta (x-x')} ここで δ はディラックのデルタ関数を表す。

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フーリエ変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/27 06:16 UTC 版)

「アナログ信号処理」の記事における「フーリエ変換」の解説

フーリエ変換は、信号またはシステムを時間領域から周波数領域へ変換するが、あらゆる信号やシステムに適用できるわけではない。フーリエ変換可能な信号やシステムは次の制約を満たさなければならない。 ∫ − ∞ ∞ | x ( t ) | d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|\,dt<\infty } フーリエ変換（積分）は次のようになる。 X ( j ω ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j ω t d t {\displaystyle X(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}\,dt} しかし、この式を変換に使うことはほとんどない。実際にはフーリエ変換表を使って信号やシステムのフーリエ変換を見つける。次の逆フーリエ変換は周波数領域から時間領域への変換である。 x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j ω ) e j ω t d ω {\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(j\omega )e^{j\omega t}\,d\omega } 変換可能な信号やシステムでは、フーリエ変換は一意である。つまり、時間信号と周波数信号には一対一の対応がある。

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フーリエ変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/11 11:57 UTC 版)

「有限可換群上の調和解析」の記事における「フーリエ変換」の解説

エルミート空間 ℓ2(G) に属する元 a のフーリエ変換は a ^ ( χ ) = g a χ = ∑ s χ ¯ ( s ) a ( s ) {\displaystyle {\hat {a}}(\chi )=ga_{\chi }=\sum _{s}{\bar {\chi }}(s)a(s)} により定義される関数 ^a : ^G → C である。フーリエ変換 ^ : ℓ2(G) → CG は全単射であることが空間の次元比較とプランシュレルの定理からわかる。

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フーリエ変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 06:59 UTC 版)

「エアリー関数」の記事における「フーリエ変換」の解説

エアリー函数 Ai (x) の定義から直接に、そのフーリエ変換が F ( Ai ) ( k ) := ∫ − ∞ ∞ Ai ⁡ ( x ) e − 2 π i k x d x = e i ( 2 π k ) 3 / 3 {\displaystyle {\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ e^{-2\pi ikx}\,dx=e^{i(2\pi k)^{3}/3}} で与えられることが示せる。