まとろいどとは? わかりやすく解説

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マトロイド

読み方:まとろいど
【英】:matroid

概要

マトロイドとは, ベクトル集合一次独立性・従属性といった概念組合せ論的に抽象化することによって得られる公理系満たすのである1935年ホイットニー(H. Whitney)が導入し1950年代以降タット(W. T. Tutte)らにより研究発展してきた. 1960年代エドモンズ(J. Edmonds)によって数理計画法における重要性指摘され以来, マトロイドは, 効率的に解くことのできる離散最適化問題把握する枠組として中心的な役割担っている.

詳説

 マトロイド (matroid) は, 線型空間内のベクトル集合一次独立従属といった概念組合せ論的な側面抽象化し得られる公理系満たすものとして定義されている. 有限集合 N\, とその部分集合\mathcal I\, が以下の (I0)-(I2) を満たすとき, (N,\mathcal I)\, はマトロイドと呼ばれる.


\mathbf{(I0)} \quad \emptyset \in \mathcal I.,

\mathbf{(I1)} \quad I\subseteq J \in \mathcal I\Rightarrow I \in \mathcal I.\,

\mathbf{(I2)} \quad I,J \in \mathcal I, |I|<|J|\Rightarrow\exists j \in  J \setminus I: I\cup\{j\} \in \mathcal I.\,


マトロイド \mathbf{M}=(N,\mathcal I)\, において, N\, \mathbf{M}\, の台集合, \mathcal I\, 独立集合族 (independent set family) という.部分集合 I \in \mathcal I\, は, \mathbf{M}\, 独立集合呼ばれる.

 マトロイド \mathbf{M}\, の基とは, 極大独立集合のことである. 公理 (I2) から明らかなように, 基の要素数は全て等しい. この数をマトロイド \mathbf{M}\, 階数という. 基の全体\mathcal{B}\, と書き, \mathbf{M}\, 基族 (base family) と呼ぶ. 基族 \mathcal{B}\, は以下の (B0)-(B1) を満たす.


\mathbf{(B0)} \quad \mathcal{B}\neq\emptyset.\,

\mathbf{(B1)} \quad B,F \in \mathcal{B}, i \in  B\setminus F\Rightarrow\exists j \in  F\setminus B: (B\setminus\{i\})\cup\{j\} \in \mathcal{B}.\,


 マトロイド \mathbf{M}\, 階数関数 (rank function) \rho\, は,


\rho(X)=\max\{|I|\mid I\subseteq X,\, I  \in \mathcal I\} 
\quad\quad\quad(X\subseteq N)\,


定義される. 階数関数 \rho\, は以下の (R0)-(R3) を満たしている.


\mathbf{(R0)} \quad \rho(\emptyset)=0\, .

\mathbf{(R1)} \quad \forall X\subseteq N: \rho(X)\leq |X|\, .

\mathbf{(R2)} \quad X\subseteq Y \Rightarrow \rho(X)\leq\rho(Y)\, .

\mathbf{(R3)} \quad \forall X,Y\subseteq N: \rho(X)+\rho(Y)\geq\rho(X\cap Y)+\rho(X\cup Y)\, .


特に, (R3) は \rho\, 劣モジュラ関数 (submodular function) であることを示している.

 ここでは, (I0)-(I2) によってマトロイドを定義したが, (B0)-(B1) を満たす基族 \mathcal{B}\, からマトロイドを定義するともできる. この場合, 独立集合は基の部分集合として定義される. 同様に, (R0)-(R3) を満たす階数関数によってマトロイドを定義するともできる. この場合, 独立集合族\mathcal I=\{I\subseteq N \mid \rho(I)=|I|\}\, によって定められる.

 離散最適化現れるマトロイドの代表的な例を以下に挙げる.

グラフ的マトロイド (graphic matroid) 点集合 V\, , 集合 E\, を持つ無向グラフ G=(V,E)\, 考える. 集合部分集合のうち, 閉路含まないものの全体\mathcal I\, とすると, (E,\mathcal I)\, は (I0)-(I2) を満たし, マトロイドになる. このようにして得られるマトロイドをグラフ的マトロイドと呼ぶ.

横断マトロイド (transversal matroid) 点集合 U\, , V\, , 集合 E\, からなる2部グラフ H=(U,V;E)\, 考える. 部分集合 M\subseteq E\, 端点共有しないものを H\, マッチングという. 点集合 U\, 部分集合で, H\, マッチングU\, における端点集合なり得るものの全体\mathcal I\, とする. このとき, (U,\mathcal I)\, は (I0)-(I2) を満たし, マトロイドになる. このようにして得られるマトロイド (U,\mathcal I)\, 横断マトロイドと呼ぶ.

 マトロイド \mathbf{M}=(N,\mathcal I)\, 各要素 i \in  N\, 重み w(i)\, 与えられたとき, 以下の様な貪欲アルゴリズム (greedy algorithm) を適用して最終的に得られる I\, が, 重み最小の基, すなわち, \textstyle w(B)=\sum\{w(i)\mid i \in  B\}\, 最小にする基 B \in \mathcal{B}\, となる.


  • I\leftarrow\emptyset; S\leftarrow N; \,
- \; S\, の中で, 重み最小要素j\, とする; S\leftarrow S-\{j\};\,
-\, もし I\cup\{j\} \in \mathcal I\, であれば, I\leftarrow I\cup \{j\}.\,


全く同様のアルゴリズムによって, 重み最大の基を求めることもできる

 離散最適化におけるマトロイドの重要性は, 貪欲アルゴリズムのみならず, 共通マトロイド問題 (matroid intersection problem) に負うところが大きい. 共通マトロイド問題とは, 台集合共有するマトロイド \mathbf{M}^+=(N,\mathcal I^+)\, \mathbf{M}^-=(N,\mathcal I^-)\, における共通独立集合のうちで, 要素最大のものを求め問題である. この問題最適値は, \mathbf{M}^+\, 階数関数 \rho^+\, \mathbf{M}^-\, 階数関数 \rho^-\, 用いて,


\max\{|I|\mid I \in \mathcal I^+\cap\mathcal I^-\}=\min\{\rho^+(X)+\rho^-(N\setminus X)\mid X\subseteq N\}\,


特徴付けられる [1] . 共通マトロイド問題は, 回路理論システム解析においても本質的な役割果たしている [2, 3, 5] .

 マトロイドが, 行列における一次独立性を抽象化し得られたのに対し, 対称行列歪対称行列正則小行列組合せ的な性質抽象化した概念として,デルタマトロイド (delta-matroid) が提案された. デルタマトロイドは, マトロイドの一般化であり, 貪欲アルゴリズム適用可能であると同時に, 一般グラフ上のマッチング端点集合族をも包含する枠組として注目されている.

 また, 多項式行列小行列式次数抽象化として付値マトロイド (valuated matroid) が提案された. 付値マトロイド研究は, 劣モジュラ関数凸性に関する理論結び付いて, 離散凸解析呼ばれる分野発展している.



参考文献

[1] J. Edmonds, "Submodular functions, matroids, and certain polyhedra," in Combinatorial Structures and Their Applications, R. Guy, H. Hanani, N. Sauer, and J. Schönheim, eds., Gordon and Breach, 69-87, 1970.

[2] 室田一雄, 「マトロイドとシステム解析」, 重悟 編『離散構造アルゴリズムⅠ』, 近代科学社, 第2章,57-109, 1992.

[3] K. Murota, Matrices and Matroids for Systems Analysis, Springer-Verlag, 2000.

[4] J. G. Oxley, Matroid Theory, Oxford University Press, 1992.

[5] A. Recski, Matroid Theory and Its Applications in Electric Network Theory and in Statics, Springer-Verlag, 1989.

[6] D. J. A. Welsh, Matroid Theory, Academic Press, 1976.

[7] N.White (ed.) , Matroid Applications, Cambridge University Press, 1992.

[8] 伊理正夫, 重悟, 大山達雄,『グラフ・ネットワーク・マトロイド』, 産業図書, 1986.

[9] J. Lee, A First Course in Combinatorial Optimization, Cambridge University Press, 2004.




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