除法 有理数の除法

除法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/02/24 14:10 UTC 版)

有理数の除法

整数の除法では考えている数(自然数もしくは整数)の範囲内で商を取り直し剰余を定義することにより、除法をその数の範囲全体で定義することができることを述べた。しかしよく知られているように、数の範囲を有理数まで拡張し、商のとり方に有理数を許すことにより、剰余の概念は取り除かれ、有理数の全体で四則演算が自由に行えるようになる。

任意の被除数 a0 でない除数が b について、それらの除算は有理数 c を唯一つ与える。

a \div b = c.

この有理数 c

c \times b = b \times c = a

を満たす。また、除法は除数の逆数の乗算に置き換えることができる。

a \div b = a \times \frac{1}{b}.

従って除算および乗算の順序は入れ替えることができる。

\begin{align}
(a \div b) \times c 
&= \left(a \times \frac{1}{b}\right) \times c 
= (a \times c) \times \frac{1}{b} 
= (a \times c) \div b, \\
(a \div b) \div c 
&= \left(a \times \frac{1}{b}\right) \times \frac{1}{c} 
= \left(a \times \frac{1}{c}\right) \times \frac{1}{b} 
= (a \div c) \div b.
\end{align}

また、2 つの除算は乗法を用いてまとめることができる。

(a \div b) \div c = a \div (b \times c).

しかし、除数と被除数を入れ替えることはできない

a \div b \ne b \div a,
(a \div b) \div c \ne a \div (b \div c).

2つ目の例のように括弧の位置を変えると計算結果が変わってしまうので、

a \div b \div c

と書かれた場合には特別な解釈を与える必要がある。一般的には左側の演算が優先され、下に示す右辺の意味に解釈される。

a \div b \div c = (a \div b) \div c.

有理数の除法について、除数を被除数に対して分配することができる。

(a + b) \div c = a \div c + b \div c

ただし被除数を除数に対して分配することはできない

a \div (b + c) \ne a \div b + a \div c

有理数の除算の結果は分数を用いて表すことができる。

a \div b = \frac{a}{b}.

ある有理数に対応する分数の表し方は無数に存在する。たとえば 0 でない有理数 c を用いて、

a \div b = \frac{ac}{bc} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}

と表してもよい。 また有理数は分母と分子がともに整数である分数を用いて表すことができる。2 つの有理数 a, b をそれぞれ整数 p, q, r, s を用いて分数表記する。

a=\frac{p}{q},~ b=\frac{r}{s}

すると、それらの除算は次のように計算することができる。

\frac{p}{q} \div \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \times \frac{s}{r} = \frac{p \times s}{q \times r} = \frac{ps}{qr}.

この表示から明らかなように有理数を有理数で割った商はまた有理数である。あるいは次のように計算してもよい。

\frac{p}{q} \div \frac{r}{s} = \frac{p \div r}{q \div s} = \frac{\frac{p}{r}}{\frac{q}{s}}.

このような意味で四則演算が自由に行える集合抽象化としての概念が現れる。すなわち、有理数の全体が作る集合 Q は体である。











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