かほう‐ていり〔カハフ‐〕【加法定理】
加法定理
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加法定理
加法定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/07 03:05 UTC 版)
球面調和関数には「加法定理」と呼ばれる性質がある。これは三角関数における加法定理 cos ( θ ′ − θ ) = cos θ ′ cos θ + sin θ sin θ ′ {\displaystyle \cos(\theta '-\theta )=\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '} を一般化したものと捉えることができる。上式の右辺は球面調和関数に、左辺はルジャンドル多項式に置き換えられる。 二つの単位ベクトル x および y を考え、それらの球面座標をそれぞれ (θ, φ) および (θ′, φ′) とする。このとき、加法定理は以下のように表すことができる： P ℓ ( x ⋅ y ) = 4 π 2 ℓ + 1 ∑ m = − ℓ ℓ Y ℓ m ( θ ′ , φ ′ ) Y ℓ m ∗ ( θ , φ ) . {\displaystyle P_{\ell }({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {y}})={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ',\varphi ')\,Y_{\ell m}^{*}(\theta ,\varphi ).} (1) ここで Pℓ は ℓ 次のルジャンドル多項式である。この表式は実数調和関数・虚数調和関数の双方について成り立つ。この結果は単位球面上のポアソン核の性質を用いて、あるいはベクトル y を z 軸に沿うように幾何的に回転させたのちに右辺を直接計算することにより解析的に証明することができる。 特に、x = y の場合はウンゼルトの定理 ∑ m = − ℓ ℓ Y ℓ m ∗ ( θ , φ ) Y ℓ m ( θ , φ ) = 2 ℓ + 1 4 π {\displaystyle \sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}} に帰着する。この式は一次元の三角関数における恒等式 cos2 θ + sin2θ = 1 を二次元に拡張したものとみなすことができる。 式 (1) の左辺 Pℓ(x⋅y) は ℓ 次の帯球調和関数（英語版）の定数倍である。この観点から、より高次元の場合にも次のように一般化することができる。Yj を n 次元超球面上の ℓ 次の球面調和関数の張る空間 Hℓ の任意の正規直交基底とする。このとき、単位ベクトル x に対応する ℓ 次の帯球調和関数 Z (ℓ)x は以下のように書き下せる。 Z x ( ℓ ) ( y ) = ∑ j = 1 dim ( H ℓ ) Y j ( x ) ¯ Y j ( y ) . {\displaystyle Z_{\boldsymbol {x}}^{(\ell )}({\boldsymbol {y}})=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}{\overline {Y_{j}({\boldsymbol {x}})}}\,Y_{j}({\boldsymbol {y}}).} (2) さらに、帯球調和関数 Z (ℓ)x (y) は適切なゲーゲンバウアー多項式の定数倍として表すことができる： Z x ( ℓ ) ( y ) = C ℓ ( ( n − 1 ) / 2 ) ( x ⋅ y ) . {\displaystyle Z_{\boldsymbol {x}}^{(\ell )}({\boldsymbol {y}})=C_{\ell }^{((n-1)/2)}({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {y}}).} (3) x および y が球面座標で表される場合、(2) および (3) を組み合わせると (1) が得られる。最後に、x = y の場合を評価すると次の恒等式が得られる： dim H ℓ ω n − 1 = ∑ j = 1 dim ( H ℓ ) | Y j ( x ) | 2 . {\displaystyle {\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\boldsymbol {x}})|^{2}.} ここで ωn − 1 は (n − 1) 次元超球の体積である。
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加法定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 10:17 UTC 版)
オイラーの公式 e i z = cos z + i sin z {\displaystyle e^{iz}=\cos z+i\sin z} Euler's formula と負角の公式から cos z = e i z + e − i z 2 , sin z = e i z − e − i z 2 i {\displaystyle \cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}} を得て、指数法則 e z + w = e z e w {\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}} を用いれば sin, cos の加法定理が得られる。これらから他の三角関数についての加法定理も得られる。 また、三平方の定理から加法定理を示す方法が挙げられる。この方法では、円周上の任意の 2 点間の距離を 2 通りの座標系について求めることで、両者が等しいことから加法定理を導く。2 点間の距離を求めるのに三平方の定理を用いる。以下では単位円のみを取り扱うが、円の半径によらずこの方法から加法定理を得ることができる。 単位円の周上に 2 点 P = (cosp, sinp), Q = (cosq, sinq) を取る。P と Q を結ぶ線分の長さを PQ として、その 2 乗 PQ2 を 2 通りの方法で求めることを考える（右図も参照）。 P と Q の x 座標の差と y 座標の差から、三平方の定理を用いて PQ2 を求める。 P Q 2 = ( cos p − cos q ) 2 + ( sin p − sin q ) 2 = ( cos 2 p + sin 2 p ) + ( cos 2 q + sin 2 q ) − 2 ( cos p cos q + sin p sin q ) = 2 − 2 ( cos p cos q + sin p sin q ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {PQ} ^{2}&=\left(\cos p-\cos q\right)^{2}+\left(\sin p-\sin q\right)^{2}\\&=\left(\cos ^{2}p+\sin ^{2}p\right)+\left(\cos ^{2}q+\sin ^{2}q\right)-2\left(\cos p\cos q+\sin p\sin q\right)\\&=2-2\left(\cos p\cos q+\sin p\sin q\right).\end{aligned}}} (1) 次に Q = (cos0, sin0) = (1, 0) となるような座標系を取り、同様に三平方の定理から PQ2 を求める。この座標系に対する操作は、x 軸および y 軸を角度 q だけ回転させる操作に相当するので、P = (cos(p − q), sin(p − q)) となる。従って、 P Q 2 = ( cos ( p − q ) − 1 ) 2 + ( sin ( p − q ) − 0 ) 2 = 2 − 2 cos ( p − q ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {PQ} ^{2}&=\left(\cos(p-q)-1\right)^{2}+\left(\sin(p-q)-0\right)^{2}\\&=2-2\cos(p-q)\end{aligned}}} (2) となる。 (1) と (2) の右辺が互いに等しいことから、次の cos に関する加法定理が得られる。 cos p cos q + sin p sin q = cos ( p − q ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos p\cos q+\sin p\sin q=\cos(p-q).\end{aligned}}} (3) 三角関数の他の性質を利用することで、(3) から sin の加法定理なども導くことができる。
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加法定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:03 UTC 版)
三角関数の場合と同様に次の加法定理が成立する。 sinh ( α + β ) = sinh α cosh β + cosh α sinh β sinh ( α − β ) = sinh α cosh β − cosh α sinh β cosh ( α + β ) = cosh α cosh β + sinh α sinh β cosh ( α − β ) = cosh α cosh β − sinh α sinh β tanh ( α + β ) = tanh α + tanh β 1 + tanh α tanh β {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(\alpha +\beta )&=\sinh \alpha \cosh \beta +\cosh \alpha \sinh \beta \\\sinh(\alpha -\beta )&=\sinh \alpha \cosh \beta -\cosh \alpha \sinh \beta \\\cosh(\alpha +\beta )&=\cosh \alpha \cosh \beta +\sinh \alpha \sinh \beta \\\cosh(\alpha -\beta )&=\cosh \alpha \cosh \beta -\sinh \alpha \sinh \beta \\\tanh(\alpha +\beta )&={\frac {\tanh \alpha +\tanh \beta }{1+\tanh \alpha \tanh \beta }}\end{aligned}}}
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加法定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/22 05:41 UTC 版)
ヤコビの楕円関数が持つ代数的な関係式として cn 2 ( u , k ) + sn 2 ( u , k ) = 1 {\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}(u,k)+\operatorname {sn} ^{2}(u,k)=1} dn 2 ( u , k ) + k 2 sn 2 ( u , k ) = 1 {\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}(u,k)+k^{2}\ \operatorname {sn} ^{2}(u,k)=1} がある。 これらの方程式で定まる2つの二次曲面の共通部分は楕円曲線であり、(cn, sn, dn)は楕円曲線のパラメタ表示を与えることが分かる。ヤコビの楕円関数の加法定理により、この楕円曲線の点は群となる。 cn ( x + y ) = cn ( x ) cn ( y ) − sn ( x ) sn ( y ) dn ( x ) dn ( y ) 1 − k 2 sn 2 ( x ) sn 2 ( y ) , sn ( x + y ) = sn ( x ) cn ( y ) dn ( y ) + sn ( y ) cn ( x ) dn ( x ) 1 − k 2 sn 2 ( x ) sn 2 ( y ) , dn ( x + y ) = dn ( x ) dn ( y ) − k 2 sn ( x ) sn ( y ) cn ( x ) cn ( y ) 1 − k 2 sn 2 ( x ) sn 2 ( y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {cn} (y)\;\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {dn} (x) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y)-k^{2}\;\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}}
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加法定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/26 06:45 UTC 版)
正則な体球調和関数を平行移動したものは、次のように有限項に展開される。 R ℓ m ( r + a ) = ∑ λ = 0 ℓ ( 2 ℓ 2 λ ) 1 / 2 ∑ μ = − λ λ R λ μ ( r ) R ℓ − λ m − μ ( a ) ⟨ λ , μ ; ℓ − λ , m − μ | ℓ m ⟩ , {\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ,} ここでクレブシュ–ゴルダン係数は次式で与えられる。 ⟨ λ , μ ; ℓ − λ , m − μ | ℓ m ⟩ = ( ℓ + m λ + μ ) 1 / 2 ( ℓ − m λ − μ ) 1 / 2 ( 2 ℓ 2 λ ) − 1 / 2 . {\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ={\binom {\ell +m}{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell -m}{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{-1/2}.} 類似の展開が非正則な体球調和関数に対しても行え、無限級数に展開される。 I ℓ m ( r + a ) = ∑ λ = 0 ∞ ( 2 ℓ + 2 λ + 1 2 λ ) 1 / 2 ∑ μ = − λ λ R λ μ ( r ) I ℓ + λ m − μ ( a ) ⟨ λ , μ ; ℓ + λ , m − μ | ℓ m ⟩ {\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\infty }{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle } ここで | r | ≤ | a | {\displaystyle |r|\leq |a|} とする。ブラケットで囲まれた因子は再びクレブシュ–ゴルダン係数である。 ⟨ λ , μ ; ℓ + λ , m − μ | ℓ m ⟩ = ( − 1 ) λ + μ ( ℓ + λ − m + μ λ + μ ) 1 / 2 ( ℓ + λ + m − μ λ − μ ) 1 / 2 ( 2 ℓ + 2 λ + 1 2 λ ) − 1 / 2 . {\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle =(-1)^{\lambda +\mu }{\binom {\ell +\lambda -m+\mu }{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell +\lambda +m-\mu }{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{-1/2}.}
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加法定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 09:57 UTC 版)
例えば ϑ 3 ( x + y , τ ) ϑ 3 ( x − y , τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ ∑ m = − ∞ ∞ e π i τ n 2 + 2 π i n ( x + y ) + π i τ m 2 + 2 π i m ( x − y ) = ∑ n = − ∞ ∞ ∑ m = − ∞ ∞ e 2 π i τ ( n + m 2 ) 2 + 4 π i ( n + m 2 ) x + 2 π i τ ( n − m 2 ) 2 + 4 π i ( n − m 2 ) y {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{3}\left(x-y,\tau \right)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }in(x+y)+{\pi }i{\tau }m^{2}+2{\pi }im(x-y)}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{2{\pi }i{\tau }\left({\tfrac {n+m}{2}}\right)^{2}+4{\pi }i\left({\tfrac {n+m}{2}}\right)x+2{\pi }i{\tau }\left({\tfrac {n-m}{2}}\right)^{2}+4{\pi }i\left({\tfrac {n-m}{2}}\right)y}\\\end{aligned}}} であるが、 n ± m {\displaystyle n{\pm }m} は共に偶数か共に奇数であるから、 N = ⌊ n + m 2 ⌋ , M = ⌊ n − m 2 ⌋ {\displaystyle N=\lfloor {\tfrac {n+m}{2}}\rfloor ,M=\lfloor {\tfrac {n-m}{2}}\rfloor } とすれば ϑ 3 ( x + y , τ ) ϑ 3 ( x − y , τ ) = ∑ N = − ∞ ∞ ∑ M = − ∞ ∞ e 2 π i τ N 2 + 4 π i N x + 2 π i τ M 2 + 4 π i M y ( n ± m even ) + ∑ N = − ∞ ∞ ∑ M = − ∞ ∞ e 2 π i τ ( N + 1 2 ) 2 + 4 π i ( N + 1 2 ) x + 2 π i τ ( M + 1 2 ) 2 + 4 π i ( M + 1 2 ) y ( n ± m odd ) = ϑ 3 ( 2 x , 2 τ ) ϑ 3 ( 2 y , 2 τ ) + ϑ 2 ( 2 x , 2 τ ) ϑ 2 ( 2 y , 2 τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{3}\left(x-y,\tau \right)&=\sum _{N=-\infty }^{\infty }\sum _{M=-\infty }^{\infty }e^{2{\pi }i{\tau }N^{2}+4{\pi }iNx+2{\pi }i{\tau }M^{2}+4{\pi }iMy}\qquad (n{\pm }m\;{\mbox{even}})\\&\quad +\sum _{N=-\infty }^{\infty }\sum _{M=-\infty }^{\infty }e^{2{\pi }i{\tau }\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+4{\pi }i\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)x+2{\pi }i{\tau }\left(M+{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+4{\pi }i\left(M+{\tfrac {1}{2}}\right)y}\qquad (n{\pm }m\;{\mbox{odd}})\\&=\vartheta _{3}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(2y,2\tau \right)+\vartheta _{2}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(2y,2\tau \right)\end{aligned}}} となる。ここで x ↦ x + 1 2 τ {\displaystyle x\mapsto {x+{\tfrac {1}{2}}\tau }} とすれば ϑ 2 ( x + y , τ ) ϑ 2 ( x − y , τ ) = ϑ 2 ( 2 x , 2 τ ) ϑ 3 ( 2 y , 2 τ ) + ϑ 3 ( 2 x , 2 τ ) ϑ 2 ( 2 y , 2 τ ) {\displaystyle \vartheta _{2}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{2}\left(x-y,\tau \right)=\vartheta _{2}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(2y,2\tau \right)+\vartheta _{3}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(2y,2\tau \right)} となり、 x ↦ x + 1 2 {\displaystyle x\mapsto {x+{\tfrac {1}{2}}}} とすれば ϑ 4 ( x + y , τ ) ϑ 4 ( x − y , τ ) = ϑ 3 ( 2 x , 2 τ ) ϑ 3 ( 2 y , 2 τ ) − ϑ 2 ( 2 x , 2 τ ) ϑ 2 ( 2 y , 2 τ ) {\displaystyle \vartheta _{4}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{4}\left(x-y,\tau \right)=\vartheta _{3}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(2y,2\tau \right)-\vartheta _{2}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(2y,2\tau \right)} となる。これらにより ϑ 3 ( x + y , τ ) ϑ 3 ( x − y , τ ) ϑ 3 2 ( 0 , τ ) = ( ϑ 3 ( 2 x , 2 τ ) ϑ 3 ( 2 y , 2 τ ) + ϑ 2 ( 2 x , 2 τ ) ϑ 2 ( 2 y , 2 τ ) ) ( ϑ 3 2 ( 0 , 2 τ ) + ϑ 2 2 ( 0 , 2 τ ) ) = ( ϑ 3 ( 2 x , 2 τ ) ϑ 2 ( 0 , 2 τ ) + ϑ 2 ( 2 x , 2 τ ) ϑ 3 ( 0 , 2 τ ) ) ( ϑ 2 ( 2 y , 2 τ ) ϑ 3 ( 0 , 2 τ ) + ϑ 3 ( 2 y , 2 τ ) ϑ 2 ( 0 , 2 τ ) ) + ( ϑ 3 ( 2 x , 2 τ ) ϑ 3 ( 0 , 2 τ ) − ϑ 2 ( 2 x , 2 τ ) ϑ 2 ( 0 , 2 τ ) ) ( ϑ 3 ( 2 y , 2 τ ) ϑ 3 ( 0 , 2 τ ) − ϑ 2 ( 2 y , 2 τ ) ϑ 2 ( 0 , 2 τ ) ) = ϑ 2 2 ( x , τ ) ϑ 2 2 ( y , τ ) + ϑ 4 2 ( x , τ ) ϑ 4 2 ( y , τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{3}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}(0,\tau )&=\left(\vartheta _{3}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(2y,2\tau \right)+\vartheta _{2}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(2y,2\tau \right)\right)\left(\vartheta _{3}^{\;2}\left(0,2\tau \right)+\vartheta _{2}^{\;2}\left(0,2\tau \right)\right)\\&=\left(\vartheta _{3}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)+\vartheta _{2}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)\right)\left(\vartheta _{2}\left(2y,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)+\vartheta _{3}\left(2y,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)\right)\\&\quad +\left(\vartheta _{3}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)-\vartheta _{2}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)\right)\left(\vartheta _{3}\left(2y,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)-\vartheta _{2}\left(2y,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)\right)\\&=\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)+\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)\end{aligned}}} が得られ、同様にして数十もの恒等式が得られる。 ϑ 1 ( x + y , τ ) ϑ 1 ( x − y , τ ) ϑ 2 2 ( 0 , τ ) = ϑ 1 2 ( x , τ ) ϑ 2 2 ( y , τ ) − ϑ 2 2 ( x , τ ) ϑ 1 2 ( y , τ ) = ϑ 4 2 ( x , τ ) ϑ 3 2 ( y , τ ) − ϑ 3 2 ( x , τ ) ϑ 4 2 ( y , τ ) ϑ 2 ( x + y , τ ) ϑ 2 ( x − y , τ ) ϑ 2 2 ( 0 , τ ) = ϑ 2 2 ( x , τ ) ϑ 2 2 ( y , τ ) − ϑ 1 2 ( x , τ ) ϑ 1 2 ( y , τ ) = ϑ 3 2 ( x , τ ) ϑ 3 2 ( y , τ ) − ϑ 4 2 ( x , τ ) ϑ 4 2 ( y , τ ) ϑ 3 ( x + y , τ ) ϑ 3 ( x − y , τ ) ϑ 2 2 ( 0 , τ ) = ϑ 3 2 ( x , τ ) ϑ 2 2 ( y , τ ) + ϑ 4 2 ( x , τ ) ϑ 1 2 ( y , τ ) = ϑ 1 2 ( x , τ ) ϑ 4 2 ( y , τ ) + ϑ 2 2 ( x , τ ) ϑ 3 2 ( y , τ ) ϑ 4 ( x + y , τ ) ϑ 4 ( x − y , τ ) ϑ 2 2 ( 0 , τ ) = ϑ 4 2 ( x , τ ) ϑ 2 2 ( y , τ ) + ϑ 3 2 ( x , τ ) ϑ 1 2 ( y , τ ) = ϑ 2 2 ( x , τ ) ϑ 4 2 ( y , τ ) + ϑ 1 2 ( x , τ ) ϑ 3 2 ( y , τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{1}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\&\vartheta _{2}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{2}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\&\vartheta _{3}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{3}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)+\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)+\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\&\vartheta _{4}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{4}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)+\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)+\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\\end{aligned}}} ϑ 1 ( x + y , τ ) ϑ 1 ( x − y , τ ) ϑ 3 2 ( 0 , τ ) = ϑ 1 2 ( x , τ ) ϑ 3 2 ( y , τ ) − ϑ 3 2 ( x , τ ) ϑ 1 2 ( y , τ ) = ϑ 4 2 ( x , τ ) ϑ 2 2 ( y , τ ) − ϑ 2 2 ( x , τ ) ϑ 4 2 ( y , τ ) ϑ 2 ( x + y , τ ) ϑ 2 ( x − y , τ ) ϑ 3 2 ( 0 , τ ) = ϑ 2 2 ( x , τ ) ϑ 3 2 ( y , τ ) − ϑ 4 2 ( x , τ ) ϑ 1 2 ( y , τ ) = ϑ 3 2 ( x , τ ) ϑ 2 2 ( y , τ ) − ϑ 1 2 ( x , τ ) ϑ 4 2 ( y , τ ) ϑ 3 ( x + y , τ ) ϑ 3 ( x − y , τ ) ϑ 3 2 ( 0 , τ ) = ϑ 3 2 ( x , τ ) ϑ 3 2 ( y , τ ) + ϑ 1 2 ( x , τ ) ϑ 1 2 ( y , τ ) = ϑ 2 2 ( x , τ ) ϑ 2 2 ( y , τ ) + ϑ 4 2 ( x , τ ) ϑ 4 2 ( y , τ ) ϑ 4 ( x + y , τ ) ϑ 4 ( x − y , τ ) ϑ 3 2 ( 0 , τ ) = ϑ 4 2 ( x , τ ) ϑ 3 2 ( y , τ ) + ϑ 2 2 ( x , τ ) ϑ 1 2 ( y , τ ) = ϑ 1 2 ( x , τ ) ϑ 2 2 ( y , τ ) + ϑ 3 2 ( x , τ ) ϑ 4 2 ( y , τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{1}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\&\vartheta _{2}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{2}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\&\vartheta _{3}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{3}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)+\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)+\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\&\vartheta _{4}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{4}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)+\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)+\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\\end{aligned}}} ϑ 1 ( x + y , τ ) ϑ 1 ( x − y , τ ) ϑ 4 2 ( 0 , τ ) = ϑ 1 2 ( x , τ ) ϑ 4 2 ( y , τ ) − ϑ 4 2 ( x , τ ) ϑ 1 2 ( y , τ ) = ϑ 3 2 ( x , τ ) ϑ 2 2 ( y , τ ) − ϑ 2 2 ( x , τ ) ϑ 3 2 ( y , τ ) ϑ 2 ( x + y , τ ) ϑ 2 ( x − y , τ ) ϑ 4 2 ( 0 , τ ) = ϑ 2 2 ( x , τ ) ϑ 4 2 ( y , τ ) − ϑ 3 2 ( x , τ ) ϑ 1 2 ( y , τ ) = ϑ 4 2 ( x , τ ) ϑ 2 2 ( y , τ ) − ϑ 1 2 ( x , τ ) ϑ 3 2 ( y , τ ) ϑ 3 ( x + y , τ ) ϑ 3 ( x − y , τ ) ϑ 4 2 ( 0 , τ ) = ϑ 3 2 ( x , τ ) ϑ 4 2 ( y , τ ) − ϑ 2 2 ( x , τ ) ϑ 1 2 ( y , τ ) = ϑ 4 2 ( x , τ ) ϑ 3 2 ( y , τ ) − ϑ 1 2 ( x , τ ) ϑ 2 2 ( y , τ ) ϑ 4 ( x + y , τ ) ϑ 4 ( x − y , τ ) ϑ 4 2 ( 0 , τ ) = ϑ 4 2 ( x , τ ) ϑ 4 2 ( y , τ ) − ϑ 1 2 ( x , τ ) ϑ 1 2 ( y , τ ) = ϑ 3 2 ( x , τ ) ϑ 3 2 ( y , τ ) − ϑ 2 2 ( x , τ ) ϑ 2 2 ( y , τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{1}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\&\vartheta _{2}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{2}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\&\vartheta _{3}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{3}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\&\vartheta _{4}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{4}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\\end{aligned}}} ϑ 1 ( x + y , τ ) ϑ 2 ( x − y , τ ) ϑ 3 ( 0 , τ ) ϑ 4 ( 0 , τ ) = ϑ 1 ( x , τ ) ϑ 2 ( x , τ ) ϑ 3 ( y , τ ) ϑ 4 ( y , τ ) + ϑ 3 ( x , τ ) ϑ 4 ( x , τ ) ϑ 1 ( y , τ ) ϑ 2 ( y , τ ) ϑ 1 ( x + y , τ ) ϑ 3 ( x − y , τ ) ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 4 ( 0 , τ ) = ϑ 1 ( x , τ ) ϑ 3 ( x , τ ) ϑ 2 ( y , τ ) ϑ 4 ( y , τ ) + ϑ 2 ( x , τ ) ϑ 4 ( x , τ ) ϑ 1 ( y , τ ) ϑ 3 ( y , τ ) ϑ 1 ( x + y , τ ) ϑ 4 ( x − y , τ ) ϑ 3 ( 0 , τ ) ϑ 2 ( 0 , τ ) = ϑ 1 ( x , τ ) ϑ 4 ( x , τ ) ϑ 3 ( y , τ ) ϑ 2 ( y , τ ) + ϑ 3 ( x , τ ) ϑ 2 ( x , τ ) ϑ 1 ( y , τ ) ϑ 4 ( y , τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{2}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{4}(0,\tau )=\vartheta _{1}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}(y,\tau )\vartheta _{4}(y,\tau )+\vartheta _{3}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}(y,\tau )\vartheta _{2}(y,\tau )\\&\vartheta _{1}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{3}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{4}(0,\tau )=\vartheta _{1}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}(y,\tau )\vartheta _{4}(y,\tau )+\vartheta _{2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}(y,\tau )\vartheta _{3}(y,\tau )\\&\vartheta _{1}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{4}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{2}(0,\tau )=\vartheta _{1}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}(y,\tau )\vartheta _{2}(y,\tau )+\vartheta _{3}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}(y,\tau )\vartheta _{4}(y,\tau )\\\end{aligned}}} x = y = z とすれば ϑ 1 ( 2 z , τ ) ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 3 ( 0 , τ ) ϑ 4 ( 0 , τ ) = 2 ϑ 1 ( z , τ ) ϑ 2 ( z , τ ) ϑ 3 ( z , τ ) ϑ 4 ( z , τ ) ϑ 2 ( 2 z , τ ) ϑ 2 3 ( 0 , τ ) = ϑ 2 4 ( z , τ ) − ϑ 1 4 ( z , τ ) = ϑ 3 4 ( z , τ ) − ϑ 4 4 ( z , τ ) ϑ 3 ( 2 z , τ ) ϑ 3 3 ( 0 , τ ) = ϑ 3 4 ( z , τ ) + ϑ 1 4 ( z , τ ) = ϑ 2 4 ( z , τ ) + ϑ 4 4 ( z , τ ) ϑ 4 ( 2 z , τ ) ϑ 4 3 ( 0 , τ ) = ϑ 4 4 ( z , τ ) − ϑ 1 4 ( z , τ ) = ϑ 3 4 ( z , τ ) − ϑ 2 4 ( z , τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}\left(2z,\tau \right)\vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{4}(0,\tau )=2\vartheta _{1}\left(z,\tau \right)\vartheta _{2}(z,\tau )\vartheta _{3}(z,\tau )\vartheta _{4}(z,\tau )\\&\vartheta _{2}\left(2z,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;3}(0,\tau )=\vartheta _{2}^{\;4}\left(z,\tau \right)-\vartheta _{1}^{\;4}\left(z,\tau \right)=\vartheta _{3}^{\;4}\left(z,\tau \right)-\vartheta _{4}^{\;4}\left(z,\tau \right)\\&\vartheta _{3}\left(2z,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;3}(0,\tau )=\vartheta _{3}^{\;4}\left(z,\tau \right)+\vartheta _{1}^{\;4}\left(z,\tau \right)=\vartheta _{2}^{\;4}\left(z,\tau \right)+\vartheta _{4}^{\;4}\left(z,\tau \right)\\&\vartheta _{4}\left(2z,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;3}(0,\tau )=\vartheta _{4}^{\;4}\left(z,\tau \right)-\vartheta _{1}^{\;4}\left(z,\tau \right)=\vartheta _{3}^{\;4}\left(z,\tau \right)-\vartheta _{2}^{\;4}\left(z,\tau \right)\\\end{aligned}}} などが得られ、更に z = 0 とすれば ϑ 3 4 ( 0 , τ ) = ϑ 2 4 ( 0 , τ ) + ϑ 4 4 ( 0 , τ ) {\displaystyle \vartheta _{3}^{\;4}(0,\tau )=\vartheta _{2}^{\;4}\left(0,\tau \right)+\vartheta _{4}^{\;4}\left(0,\tau \right)} が得られる。
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加法定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:03 UTC 版)
「三角関数の公式の一覧」の記事における「加法定理」の解説
以下の式は「加法定理」として知られる。これらの式は、10世紀のペルシャの数学者アブル・ワファーによって最初に示された。これらの式はオイラーの公式を用いて示すことが可能である。 Sine sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β {\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!} Cosine cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β {\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,} Tangent tan ( α ± β ) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β {\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}} Arcsine arcsin α ± arcsin β = arcsin ( α 1 − β 2 ± β 1 − α 2 ) {\displaystyle \arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}})} Arccosine arccos α ± arccos β = arccos ( α β ∓ ( 1 − α 2 ) ( 1 − β 2 ) ) {\displaystyle \arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}})} Arctangent arctan α ± arctan β = arctan ( α ± β 1 ∓ α β ) {\displaystyle \arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)} 上記の表において複号は同順とする。
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加法定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/28 07:05 UTC 版)
詳細は「三角関数の公式の一覧#加法定理」を参照 atan2 {\displaystyle \operatorname {atan2} } の和は、下記の定理によれば一つの式にまとめることができる。 atan2 ( y 1 , x 1 ) ± atan2 ( y 2 , x 2 ) = atan2 ( y 1 x 2 ± y 2 x 1 , x 1 x 2 ∓ y 1 y 2 ) {\displaystyle \operatorname {atan2} (y_{1},x_{1})\pm \operatorname {atan2} (y_{2},x_{2})=\operatorname {atan2} (y_{1}x_{2}\pm y_{2}x_{1},x_{1}x_{2}\mp y_{1}y_{2})} ...ここで atan2 ( y 1 , x 1 ) ± atan2 ( y 2 , x 2 ) ∈ ( − π , π ] {\displaystyle \operatorname {atan2} (y_{1},x_{1})\pm \operatorname {atan2} (y_{2},x_{2})\in (-\pi ,\pi ]} . 証明には、 y 2 ≠ 0 {\displaystyle y_{2}\neq 0} または x 2 > 0 {\displaystyle x_{2}>0} 、および y 2 = 0 {\displaystyle y_{2}=0} かつ x 2 < 0 {\displaystyle x_{2}<0} の二つのケースにわけて行う必要がある。ここでは前者の y 2 ≠ 0 {\displaystyle y_{2}\neq 0} または x 2> 0 {\displaystyle x_{2}>0} のケースのみにおいて考える。最初に、下記の考察を行う： − atan2 ( y , x ) = atan2 ( − y , x ) {\displaystyle -\operatorname {atan2} (y,x)=\operatorname {atan2} (-y,x)} において y ≠ 0 {\displaystyle y\neq 0} または x > 0 {\displaystyle x>0} . Arg ( x + i y ) = atan2 ( y , x ) {\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,x)} であり、 Arg {\displaystyle \operatorname {Arg} } は複素数の偏角の数値計算である。 θ ∈ ( − π , π ] {\displaystyle \theta \in (-\pi ,\pi ]} である限り、 θ = Arg e i θ {\displaystyle \theta =\operatorname {Arg} e^{i\theta }} が成り立つ（オイラーの公式により）。 Arg ( e i Arg ζ 1 e i Arg ζ 2 ) = Arg ( ζ 1 ζ 2 ) {\displaystyle \operatorname {Arg} (e^{i\operatorname {Arg} \zeta _{1}}e^{i\operatorname {Arg} \zeta _{2}})=\operatorname {Arg} (\zeta _{1}\zeta _{2})} . (4)において、複素数の偏角の定理により e i Arg ζ = ζ ¯ {\displaystyle e^{i\operatorname {Arg} \zeta }={\bar {\zeta }}} 、ここで ζ ¯ = ζ / | ζ | {\displaystyle {\bar {\zeta }}=\zeta /\left|\zeta \right|} 、従って Arg ( e i Arg ζ 1 e i Arg ζ 2 ) = Arg ( ζ 1 ¯ ζ 2 ¯ ) {\displaystyle \operatorname {Arg} (e^{i\operatorname {Arg} \zeta _{1}}e^{i\operatorname {Arg} \zeta _{2}})=\operatorname {Arg} ({\bar {\zeta _{1}}}{\bar {\zeta _{2}}})} となる。さらに、全ての正の実数値 a {\displaystyle a} に対して Arg ζ = Arg a ζ {\displaystyle \operatorname {Arg} \zeta =\operatorname {Arg} a\zeta } が成り立ち、 ζ = ζ 1 ζ 2 {\displaystyle \zeta =\zeta _{1}\zeta _{2}} および a = 1 | ζ 1 | | ζ 2 | {\displaystyle a={\frac {1}{\left|\zeta _{1}\right|\left|\zeta _{2}\right|}}} とすると、 Arg ( ζ 1 ¯ ζ 2 ¯ ) = Arg ( ζ 1 ζ 2 ) {\displaystyle \operatorname {Arg} ({\bar {\zeta _{1}}}{\bar {\zeta _{2}}})=\operatorname {Arg} (\zeta _{1}\zeta _{2})} となる。 上記より、次の等式が成り立つ： atan2 ( y 1 , x 1 ) ± atan2 ( y 2 , x 2 ) = atan2 ( y 1 , x 1 ) + atan2 ( ± y 2 , x 2 ) by (1) = Arg ( x 1 + i y 1 ) + Arg ( x 2 ± i y 2 ) by (2) = Arg e i ( Arg ( x 1 + i y 1 ) + Arg ( x 2 ± i y 2 ) ) by (3) = Arg ( e i Arg ( x 1 + i y 1 ) e i Arg ( x 2 ± i y 2 ) ) = Arg ( ( x 1 + i y 1 ) ( x 2 ± i y 2 ) ) by (4) = Arg ( x 1 x 2 ∓ y 1 y 2 + i ( y 1 x 2 ± y 2 x 1 ) ) = atan2 ( y 1 x 2 ± y 2 x 1 , x 1 x 2 ∓ y 1 y 2 ) by (2) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {atan2} (y_{1},x_{1})\pm \operatorname {atan2} (y_{2},x_{2})&{}=\operatorname {atan2} (y_{1},x_{1})+\operatorname {atan2} (\pm y_{2},x_{2})&{\text{by (1)}}\\&{}=\operatorname {Arg} (x_{1}+iy_{1})+\operatorname {Arg} (x_{2}\pm iy_{2})&{\text{by (2)}}\\&{}=\operatorname {Arg} e^{i(\operatorname {Arg} (x_{1}+iy_{1})+\operatorname {Arg} (x_{2}\pm iy_{2}))}&{\text{by (3)}}\\&{}=\operatorname {Arg} (e^{i\operatorname {Arg} (x_{1}+iy_{1})}e^{i\operatorname {Arg} (x_{2}\pm iy_{2})})\\&{}=\operatorname {Arg} ((x_{1}+iy_{1})(x_{2}\pm iy_{2}))&{\text{by (4)}}\\&{}=\operatorname {Arg} (x_{1}x_{2}\mp y_{1}y_{2}+i(y_{1}x_{2}\pm y_{2}x_{1}))\\&{}=\operatorname {atan2} (y_{1}x_{2}\pm y_{2}x_{1},x_{1}x_{2}\mp y_{1}y_{2})&{\text{by (2)}}\end{aligned}}} Corollary（推論）: もし ( y 1 , x 1 ) {\displaystyle (y_{1},x_{1})} および ( y 2 , x 2 ) {\displaystyle (y_{2},x_{2})} が２次元のベクトルであり、これらベクトル間の角度を計算するのに atan2 {\displaystyle \operatorname {atan2} } を用いた差分の式が頻繁に用いられているとすると、計算結果は ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]} の区間となることから、ほとんどのケースではレンジチェックは不要となる。
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