コルモゴロフによる公理系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/04 17:58 UTC 版)
「確率の公理」の記事における「コルモゴロフによる公理系」の解説
まず、コルモゴロフ自身による公理系を解説し、次節で現代の定義について解説する。 Ω {\displaystyle \Omega } は、根元事象と呼ばれる要素の集合、 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は Ω {\displaystyle \Omega } の部分集合から構成される族であり、その要素は事象と呼ばれる。 P {\displaystyle P} は F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} 上の集合関数とする。以下の5公理を満たす系 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},P)} を確率空間と呼ぶ。 1. F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は有限個の要素による集合和、集合差、共通部分について閉じている。 2. F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は Ω {\displaystyle \Omega } を含む。すなわち Ω ∈ F . {\displaystyle \Omega \in {\mathfrak {F}}.} 3. P {\displaystyle P} は非負の実数値をとる。すなわち、 P : F → R ≥ 0 {\displaystyle P:{\mathfrak {F}}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}} 4. P ( Ω ) = 1. {\displaystyle P(\Omega )=1.} 5. A , B ∈ F {\displaystyle A,B\in {\mathfrak {F}}} が互いに素な集合 (Disjoint sets) ならば、 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) . {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B).} （有限加法性） さらに Ω {\displaystyle \Omega } が無限集合の場合には次の連続牲の公理を導入する。 6. F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} の減少列 A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ ⋯ {\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots } が、 ⋂ n = 1 ∞ A n = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}=\emptyset } を満たすならば、 lim n → ∞ P ( A n ) = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(A_{n})=0.} 公理5と6より、次の一般化加法定理（完全加法牲）が導かれる。 一般化加法定理 集合列 { A n } n ∈ N {\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} は、互いに素であり、 ⋃ n = 1 ∞ A n ∈ F {\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathfrak {F}}} ならば、 P ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) . {\displaystyle P{\bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}{\bigr )}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }P(A_{i}).} 一般化加法定理を満たす P {\displaystyle P} は、 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} が生成する完全加法族（σ-集合体）上の非負かつ完全加法的な集合関数に一意的に拡張可能である。
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