底の変換例

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底の変換例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 00:54 UTC 版)

「位取り記数法」の記事における「底の変換例」の解説

十進法→五進法への変換 十進法の 5213 を五進法に置き換える場合、5で割っていき、商が5未満になった時点で止める。余り無しの場合は 0 を明記する。商が5未満になったら、最後の商を先頭にして、最初の余りを末尾にして列べる。 5213 ÷ 5 = 1042 余り 3 1042 ÷ 5 = 208 余り 2 208 ÷ 5 = 41 余り 3 41 ÷ 5 = 8 余り 1 8 ÷ 5 = 1 余り 3 1 ÷ 5 = 0 余り 1 から、5213 = 3 + 2 × 5 + 3 × 52 + 1 × 53 + 3 × 54 + 1 × 55 となるので、五進表記では 131323 と表すことができる。また、55 = 3125, 56 = 15625 であるから、55 ≤ 5213 < 56 が成り立っているので、対数を取ると 5 ≤ log 5 ⁡ 5213 < 6 となり、 r = ⌊ log 5 ⁡ 5213 ⌋ = 5 が分かる。 十進法以外→十進法以外への変換 十進法以外のN進法も同様で、例えば38に当たる六進法の 50213 を十六進法に置き換える場合も、商が24(6) = 10(G) を下回るまで24で割っていく。 50213 ÷ 24 = 1522 余り 1 1522 ÷ 24 = 41 余り 14 42 ÷ 24 = 1 余り 13 以上より、1, 13, 14, 1の列になり、13(6) = 9(G)、14(6) = A(G) なので、十六進法では 19A1 となる。 同値の整数 二百七十の表記は、以下の通りになる。（便宜上、計算式を十進法で表記する） 二進法 (100001110)2 : 270 = 256 + 14 = 28 + 23 + 22 + 21 三進法 (101000)3 : 270 = 243 + 27 = 35 + 33 四進法 (10032)4 : 270 = 256 + 14 = 1×44 + 3×41 + 2 五進法 (2040)5 : 270 = 250 + 20 = 2×53 + 4×51 六進法 (1130)6 : 270 = 216 + 54 = 1×63 + 1×62 + 3×61 八進法 (416)8 : 270 = 256 + 14 = 4×82 + 1×81 + 6 九進法 (330)9 : 270 = 243 + 27 = 3×92 + 3×91 十進法 (270)10 : 270 = 200 + 70 = 2×102 + 7×101 十二進法 (1A6)12 : 270 = 144 + 126 = 1×122 + 10×121 + 6 十六進法 (10E)16 : 270 = 256 + 14 = 1×161 + 0×161 + 14 十八進法 (F0)18 : 270 = 270 + 0 = 15×181 二十進法 (DA)20 : 270 = 260 + 10 = 13×201 + 10 二十四進法 (B6)24 : 270 = 264 + 6 = 11×241 + 6 意味する数 整数「234」の意味する数は、以下の通りになる。（便宜上、計算式を十進法で表記する） 六進法 (234)6 : (94)10 = 72 + 18 + 4 = 2×62 + 3×61 + 4 八進法 (234)8 : (156)10 = 128 + 24 + 4 = 2×82 + 3×81 + 4 九進法 (234)9 : (193)10 = 162 + 27 + 4 = 2×92 + 3×91 + 4 十進法 (234)10 : (234)10 = 200 + 30 + 4 = 2×102 + 3×101 + 4 十二進法 (234)12 : (328)10 = 288 + 36 + 4 = 2×122 + 3×121 + 4 十六進法 (234)16 : (564)10 = 512 + 48 + 4 = 2×162 + 3×161 + 4 十八進法 (234)18 : (706)10 = 648 + 54 + 4 = 2×182 + 3×181 + 4 二十進法 (234)20 : (864)10 = 800 + 60 + 4 = 2×202 + 3×201 + 4 二十四進法 (234)24 : (1228)10 = 1152 + 72 + 4 = 2×242 + 3×241 + 4 小数「0.5」の意味する数は、以下の通りになる。（便宜上、計算式を十進法で表記する） 六進法 (0.5)6 : (5/6)10 = 十進法で 0.8333… 八進法 (0.5)8 : (5/8)10 = 十進法で 0.625 九進法 (0.5)9 : (5/9)10 = 十進法で 0.5555… 十進法 (0.5)10 : (5/10)10 = 1/2 十二進法 (0.5)12 : (5/12)10 = 十進法で 0.41666… 十六進法 (0.5)16 : (5/16)10 = 十進法で 0.3125 十八進法 (0.5)18 : (5/18)10 = 十進法で 0.2777… 二十進法 (0.5)20 : (5/20)10 = 1/4 = 十進法で 0.25 二十四進法 (0,5)24 : (5/24)10 = 十進法で 0.208333… 四則計算を含めた変換 上記の通り、十二進法の 500 は七百二十であり、十進法では 720 と表記される。従って、十二進法の"500 ÷ 14 = 39"は、以下のように変換される。 十二進法 : (500)12 ÷ (14)12 = (39)12 六進法に換算 : (3200)6 ÷ (24)6 = (113)6 十進法に換算 : (720)10 ÷ (16)10 = (45)10 十六進法に換算 : (2D0)16 ÷ (10)16 = (2D)16 十八進法に換算 : (240)18 ÷ (G)18 = (29)18 二十進法に換算 : (1G0)20 ÷ (G)20 = (25)20 “1034 ÷ 11”の商も、以下のようになる。 六進法 (1034)6 ÷ (11)6 = {1×63 + 0×62 + 3×61 + 4} ÷ {1×6 + 1} = (54)6十進法に換算：238 ÷ 7 = 34 十進法 (1034)10 ÷ (11)10 = {1×103 + 0×102 + 3×101 + 4} ÷ {1×10 + 1} = (94)10 十二進法 (1034)12 ÷ (11)12 = {1×123 + 0×122 +3×121 + 4} ÷ {1×12 + 1} = (B4)12十進法に換算：1768 ÷ 13 = 136 二十進法 (1034)20 ÷ (11)20 = {1×203 + 0×202 + 3×201 + 4} ÷ {1×20 + 1} = (J4)20十進法に換算：8064 ÷ 21 = 384 同値の小数への変換 小数を別のN進法に変換する場合には、以下の経過を践む。 変換前と変換後の冪数を列挙する。 小数点以下の元の桁数に合わせて、冪数を掛ける。 端数処理をする。 整数と同じく、冪数を掛けた結果を、変換後のNで割っていく。 変換後のNで割った結果を最後の商→最初の余りの順に列挙する。この列が同値の小数となる。 （例）十進数0.531441 → 十二進数六桁 十進数 1000000 → 2985984（十の六乗→十二の六乗） 531441×2.985984 = 1586874.322944 1586874.322944 → 1586874 1586874÷12 = 132239 余り6132239÷12 = 11019 余り11 11019÷12 = 918 余り3 918÷12 = 76 余り6 76÷12 = 6 余り4 11(A) = B(C) なので、6463B6(C) を列べる。 以上より、十進数0.531441 は、十二進数では約0.6463B6 となる。 （例）十進数0.124053 → 六進数九桁 十進数 1000000 → 10077696（十の六乗→六の九乗） 124053×10.077696 = 1250168.42189変換前の小数が六桁なので、乗数も小数点以下を六桁にする。 1250168.42189 → 1250168 1250168÷6 = 208361 余り2208361÷6 = 34726 余り5 34726÷6 = 5787 余り4 5787÷6 = 964 余り3 964÷6 = 160 余り4 160÷6 = 26 余り4 26÷6 = 4 余り2 42443452(6)を列べる。分母が 10077696(A) = 1000000000(6) なので、小数点以下は9桁になり、先頭に0が1つ加わる。 よって、十進数0.124053 は、六進数では約0.042443452 となる。 同値の小数 十進法の小数 0.625 は、六進法では 0.343 となり、十二進法では 0.76 となり、二十進法では 0.CA となる。いずれも分数に換算すると十進法の 5/8 となる小数であるが、計算式は以下の通りになる。 六進法 (0.343)6 = (343/1000)6 = 3×6-1 + 4×6-2 + 3×6-3 = (135/216)10 = (5/8)10 十進法 (0.625)10 = (625/1000)10 = 6×10-1 + 2×10-2 + 5×10-3 = (625/1000)10 =(5/8)10 十二進法 (0.76)12 = (76/100)12 = 7×12-1 + 6×12-2 = (90/144)10 = (5/8)10 二十進法 (0.CA)20 = (CA/100)20 = 12×20-1 + 10×20-2 = (250/400)10 = (5/8)10 六進法の小数 0.332 は、十二進法では 0.714 となる。分数に換算すると十進法の 16/27（= 24/33）となる小数であるが、こちらの計算式は以下の通りになる。 六進法 (0.332)6 = (332/1000)6 = 3×6-1 + 3×6-2 + 2×6-3 = (128/216)10 = (16/27)10 十二進法 (0.714)12 = (714/1000)12 = 7×12-1 + 1×12-2 + 4×12-3 = (1024/1728)10 = (16/27)10 十進法の小数 0.36 は、二十進法では 0.74 となる。分数に換算すると十進法の 9/25（= 32/52）となる小数であるが、こちらの計算式は以下の通りになる。 十進法 (0.36)10 = (36/100)10 = 3×10-1 + 6×10-2 = (36/100)10 = (9/25)10 二十進法 (0.74)20 = (74/100)20 = 7×20-1 + 4×20-2 = (144/400)10 = (9/25)10