定規とコンパスでできる作業

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定規とコンパスでできる作業

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/04 08:05 UTC 版)

「定規とコンパスによる作図」の記事における「定規とコンパスでできる作業」の解説

この問題に言う「定規」「コンパス」は現実世界にある実物のそれではなく（参考にはしているけれども）、可能な作業が決まっている仮想的な存在である。そのため、思考実験の一種としてサイズに関しては現実的にありえない無茶なことも想定できる代わりに、実物にできることのいくつかははっきりと禁止される。 「コンパス」はいくらでも小さく、またはどこまでも大きく半径を取ることのできる、仮想的なもので、広げて任意の長さを測り取ることもできる。ただし、測り取れるのは既に作図されている二点間の長さとしてだけである。なお、「コンパス」本体に角度を表示する目的などで目盛りなどの印を打つことはできない。また、作図の作業においては軸は既に作図された点に固定されるものとし、定規や線の上を引きずって線を引くような用途には使用できない。 「定規」はいくらでも長くまっすぐな線を引くことができる。ただし、「定規」に目盛りを打つことは許されない（目盛りがあっても長さを測るのには使わない）。また「定規」だけで引けるのは同時に一本だけであり、複数の平行線を同時に引くようなことはできない。「定規」でできるのは既知の任意の二点を線分で結ぶこと、およびそれを延長して直線にすることである。 仮に目測や近似を使って何らかの作図ができたと主張しても、それは作図問題に答えたことにはならない。間違いなく確実に決まっていることが必要なのである。もちろん（いくらきちんと点や線が作図できたとしても）、目盛りのある定規を使ったり、変形コンパスや分度器その他の道具、手段を利用してはならない。そのようにして得たものは定規とコンパスを用いた作図問題の解決とは無関係な存在だからである。 これらの条件から、定規とコンパスによる作図でできることは原理的には次に挙げるような作業のみであり、既知の点、直線、円たちからはじめて、それらの作業を有限回組み合わせて繰り返すだけで必要な点や長さを得ることができるならば目的の作図が可能、できなければ目的の作図は不可能であるということになる。 既知の二点に対し、それらを通る直線を引く。 既知の一点を中心とし、それ以外の既知の点を通るような円を描く。 互いに平行でない既知の二直線から、その交点を得る。 既知の円と直線から、その高々二個の交点を得る。 既知の二つの円から、その高々二個の交点を得る。 たとえば、相異なる二点が与えられているだけの最低限の仮定からはじめれば、まずひとつの直線と半径の等しい二つの円を描くことができる。交わる二つの円が得られているのでそれらの交点として新たに二つの点を得ることができる。この新たな二点のうちのいずれかと最初の二点とをそれぞれ結べば正三角形の作図が完成する。 これはつまり、作図という幾何学的な問題は、どのような記号（点や直線、円など）を初めに与えて (initial set)、どのような方法で (algorithm)、どのような結果が得られるか (result) という点に係っているということである。このような側面から言えば、作図問題というのは元が点や直線になっただけの公理的な代数学と等価な存在であるといえる。それを現実のものとし、それによっていくつかの作図問題の不可能性を証明したはじめての人はおそらくガウスであろう。後の時代になってヒルベルトが、著書『幾何学基礎論』においてユークリッド幾何学の公理を完全に厳密な形で与えている。