変動する接触率、年複数回またはカオス的流行
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/07 14:13 UTC 版)
「疫学における区画モデル」の記事における「変動する接触率、年複数回またはカオス的流行」の解説
病気にかかる確率は時間的に一定ではないことはよく知られている。風邪ウイルスといった季節性のある病気もあり、これらは冬季に流行しやすくなる。麻疹、おたふくかぜ、風疹などの小児の病気では、学校暦との相関関係が強く、学校が休みの間はかかる確率が激減する。 結果として、多くの疾患では、周期的に（季節的に）変化する接触率 F = β ( t ) I N , β ( t + T ) = β ( t ) {\displaystyle F=\beta (t){\frac {I}{N}},\quad \beta (t+T)=\beta (t)} を持つ感染力を考慮する必要がある（周期Tは1年に等しい）。 したがって、モデルは d S d t = μ N − μ S − β ( t ) I N S d I d t = β ( t ) I N S − ( γ + μ ) I {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta (t){\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta (t){\frac {I}{N}}S-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}} となる（回復の動態は簡単に R = N − S − I {\displaystyle R=N-S-I} となる）。すなわち、周期的に変化するパラメータを持つ微分方程式の非線形集合である。このクラスの力学系は非線形パラメトリック共鳴という非常に興味深く複雑な現象を経ることが知られている。 もし 1 T ∫ 0 T β ( t ) μ + γ d t < 1 ⇒ lim t → + ∞ ( S ( t ) , I ( t ) ) = D F E = ( N , 0 ) , {\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\frac {\beta (t)}{\mu +\gamma }}\,dt<1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }(S(t),I(t))=DFE=(N,0),} ならば容易に理解できるが、この積分が1よりも大きい場合、病気は消えず、こういった共鳴が存在するかもしれない。例えば、周期的に変化する接触率をシステムの「入力」として考えると、出力は周期が入力の周期の倍数である周期関数であることがわかる。これにより、いくつかの感染症の多年に1回の（通常は2年に1回の）流行の発生を、接触率の振動の周期と、エンデミックな平衡解近傍の減衰振動の疑似周期との間の相互作用として説明することができるようになった。驚くべきことに、いくつかの場合では、その挙動は準周期的なものであったり、カオス的なものであったりすることもある。
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