疫学における区画モデルとは？わかりやすく解説

区画モデル（くかくモデル、英: Compartmental model）は、単純かつ一般的な感染症の数理モデル化（英語版）の方法の総称である。区画モデルでは、集団内の個体は、感染状態に応じて、それぞれ「区画」と呼ばれるラベルを割り当てられる。例えば、S、I、Rという区画は、それぞれSusceptible〈感受性保持者〉、Infectious〈感染者〉、Recovered〈免疫保持者〉を表す。個体は感染状態の進行にともなって、区画間を移行する。具体的な区画モデルは、例えばSIRモデル、SIESモデルなどと呼ばれるが、こうしたモデルの名称となるラベルの順番は通常、区画間の移行のパターンを示している。例えば、SEISは、感受性（susceptible）、曝露（exposed）、感染（infectious）、そして再び感受性（susceptible）の順に感染状態が進行することを意味する。

こういったモデルの起源は20世紀初頭であり、1927年のカーマック（英語版）とマッケンドリック（英語版）の研究が重要である^[1]。

モデルは（決定論的である）常微分方程式を用いて実行されることが多いが、確率論的（ランダム）な枠組みを用いることも可能である。確率論的モデルはより現実的ではあるが解析がはるかに複雑である。

モデルは、病気がどのように広がるか、感染者の総数、流行の期間などを予測し、再生産数などの様々な疫学的パラメータを推定しようとする。このようなモデルは、異なる公衆衛生上の介入が流行の結果にどのように影響を与えるかを示すことができる。例えば、与えられた集団に限られた数のワクチンを接種するために最も効率的な手法は何かを示すことができる。

SIRモデル

→詳細は「SIRモデル」を参照

SIRモデルは最も単純な区画モデルの1つであり、多くのモデルはこの基本形から派生している。本モデルは3つの区画で構成されている。

S: 感受性（susceptible）個体の数。感受性個体と感染個体が「感染性接触」すると、感受性個体が病気に感染し、感染性区画に移行する。
I: 感染（infectious）個体数のこと。感染した個体であり、感受性個体を感染させる可能性がある。
R: 隔離（removed）（免疫のある）個体、または死亡した個体の数。これらは、感染から回復して隔離区画に入った個体、または死亡した個体である。死亡者数は総人口に対して無視できるほどの数であると仮定している。この区画を「回復（recovered）」または「抵抗性（resistant）」と呼ぶこともある。

このモデルは、麻疹、おたふくかぜ、風疹といった、回復が持続的な抵抗性をもたらし、ヒトからヒトへ感染する感染症について合理的に予測可能である^[要出典]。

空間SIRモデルシミュレーション。個々のセルは隣接した8つの区画を感染させることができる。

これらの変数（S、I、R）は、特定の時間に各区画にいる人の数を表す。感受性個体、感染個体、隔離個体の数が（総人口サイズが一定であっても）時間とともに変化する可能性があることを表すために、正確な数をt（時間）の関数S(t)、I(t)、R(t) とする。特定の集団における特定の疾患については、これらの関数は、可能性のあるアウトブレイクを予測し、それらを制御下に置くために働くかもしれない^[要出典]。

SIRモデルは3つの意味で動的である

tの変数関数で表わされるように、本モデルは各区画内の数が時間の経過とともに変動するという意味で動的である。この動的な側面の重要性は、1968年にワクチンが導入される前の英国の麻疹のように、感染期間が短い風土病において最も明白である。このような病気は、感受性保持者数（S(t)）が時間の経過とともに変化するため、何度も流行する傾向がある。伝染病が流行すると、より多くの感受性保持者が感染区画に入るため、感受性保持者の数が急激に減少し、彼らは感染区画と隔離区画に入ることになる。生まれた子どもが感受性区画に入るなどして、感受性個体の数が回復するまでは、病気が再び流行することはできない。

集団の各メンバーは、通常、感受性区画から感染性区画へ、そして隔離区画へと進行する。これは以下のような、箱が異なる区画を表し、矢印が区画間の遷移を表すフロー図として示すことができる。

遷移速度

モデルを完全に明確に記述するためには、矢印を区画間の遷移速度でラベル付けするべきである。SとIの間では、遷移速度をd(S/N)/dt = -βSI/N²と仮定する。ここで、Nは総人口、βは時間当たりの1人当たりの平均接触数に感受性保持者と感染者の間の接触における病気の伝播確率を乗じたもの、SI/N²は感受性保持者と感染者の間の接触のうち、感受性保持者が感染することになる接触の割合である（これは数学的には、分子間のランダムな衝突が化学反応を引き起こし、分率が2つの反応物の濃度に比例するという化学の質量作用の法則に似ている）。

IとRの間では、遷移速度は感染個体数に比例すると仮定し、これをγIとする。これは、任意の時間間隔dtにおいて感染個体が回復する確率が単純にγdtであると仮定していることと等価である。ある個体が平均的な時間間隔Dで感染している場合、γ = 1/Dとなる。これは、個人が感染状態にある時間の長さが指数分布を持つランダム変数であるという仮定と等価である。この「古典的」SIRモデルは、I-R遷移速度のためにより複雑で現実的な分布（例えば、アーラン分布^[2]）を使用することによって修正することができる。