SEIRモデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/07 00:54 UTC 版)
ナビゲーションに移動 検索に移動SEIRモデル（エスイーアイアールモデル）は、感染症流行の数理モデルである。
モデルは
- 感染症に対して免疫を持たない者 (Susceptible)
- 感染症が潜伏期間中の者 (Exposed)
- 発症者 (Infectious)
- 感染症から回復し免疫を獲得した者 (Recovered)
から構成され、その頭文字をとってSEIRモデルと呼ばれる。
類似のモデルに潜伏期間を考慮しないSIRモデル、免疫獲得を考慮しないSISモデル、母体免疫派生を考慮したMSIRモデルなどが存在する。
モデル方程式系
モデルは以下の常微分方程式系で書き表される。
ただしtは時間、mは出生率及び死亡率、aは感染症の発症率、bは感染症への感染率、gは感染症からの回復率を表す。
またNは全人口を表し、
で定義される。通常Nは定数である。
解の振る舞い
数値計算によって得られる解は水痘、はしかなどの実際の感染症流行を定性的には再現し、またその振る舞いはカオス的である[1]。
参照
- ^ L. F. Olsen & W. M. Schaffer,Chaos versus noisy periodicty: alternative hypotheses for childhood epidemics, Science, 1990.
関連項目
SEIRモデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/07 14:13 UTC 版)
「疫学における区画モデル」の記事における「SEIRモデル」の解説
詳細は「SEIRモデル」を参照 多くの重要な感染症では、個体は感染しているが、まだ発症していない潜伏期間が存在する。この期間中、個体は区画E（exposed）にいる。 潜伏期間がパラメータ a {\displaystyle a} を持つ指数分布の確率変数であると仮定し（すなわち、平均潜伏期間は a − 1 {\displaystyle a^{-1}} ）、また、出生率 Λ {\displaystyle \Lambda } が死亡率 μ {\displaystyle \mu } に等しい人口動態の存在を仮定すると、モデルは次のようになる。 d S d t = μ N − μ S − β I N S d E d t = β I N S − ( μ + a ) E d I d t = a E − ( γ + μ ) I d R d t = γ I − μ R . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dE}{dt}}&=\beta {\frac {I}{N}}S-(\mu +a)E\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=aE-(\gamma +\mu )I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R.\end{aligned}}} ここで、 S + E + I + R = N {\displaystyle S+E+I+R=N} であるが、 これは、出生率と死亡率が等しいという（縮退した）仮定のために一定であるだけで、一般的に N {\displaystyle N} は変数である。 このモデルについて、基本再生産数は R 0 = a μ + a β μ + γ {\displaystyle R_{0}={\frac {a}{\mu +a}}{\frac {\beta }{\mu +\gamma }}} である。 SIRモデルと同様に、この場合においても、感染症の無い平衡解（DFE: N,0,0,0）とエンデミックな平衡解（EE）があり、生物学的に意味を持つ初期条件とは独立に以下を示すことができる。 ( S ( 0 ) , E ( 0 ) , I ( 0 ) , R ( 0 ) ) ∈ { ( S , E , I , R ) ∈ [ 0 , N ] 4 : S ≥ 0 , E ≥ 0 , I ≥ 0 , R ≥ 0 , S + E + I + R = N } {\displaystyle \left(S(0),E(0),I(0),R(0)\right)\in \left\{(S,E,I,R)\in [0,N]^{4}:S\geq 0,E\geq 0,I\geq 0,R\geq 0,S+E+I+R=N\right\}} これは R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → + ∞ ( S ( t ) , E ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = D F E = ( N , 0 , 0 , 0 ) , {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=DFE=(N,0,0,0),} R 0 > 1 , I ( 0 ) > 0 ⇒ lim t → + ∞ ( S ( t ) , E ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = E E {\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=EE} を満たす。 接触率 β ( t ) {\displaystyle \beta (t)} が周期的に変化する場合、DFEの大域的誘引性の条件は、周期的な係数を持つ以下の線形系 d E 1 d t = β ( t ) I 1 − ( γ + a ) E 1 d I 1 d t = a E 1 − ( γ + μ ) I 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dE_{1}}{dt}}&=\beta (t)I_{1}-(\gamma +a)E_{1}\\[8pt]{\frac {dI_{1}}{dt}}&=aE_{1}-(\gamma +\mu )I_{1}\end{aligned}}} が安定なことである（すなわち、複素平面における単位円内にフロケの固有値を持つ）。
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