SEIRモデル
SEIRモデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/07 14:13 UTC 版)
「疫学における区画モデル」の記事における「SEIRモデル」の解説
詳細は「SEIRモデル」を参照 多くの重要な感染症では、個体は感染しているが、まだ発症していない潜伏期間が存在する。この期間中、個体は区画E（exposed）にいる。 潜伏期間がパラメータ a {\displaystyle a} を持つ指数分布の確率変数であると仮定し（すなわち、平均潜伏期間は a − 1 {\displaystyle a^{-1}} ）、また、出生率 Λ {\displaystyle \Lambda } が死亡率 μ {\displaystyle \mu } に等しい人口動態の存在を仮定すると、モデルは次のようになる。 d S d t = μ N − μ S − β I N S d E d t = β I N S − ( μ + a ) E d I d t = a E − ( γ + μ ) I d R d t = γ I − μ R . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dE}{dt}}&=\beta {\frac {I}{N}}S-(\mu +a)E\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=aE-(\gamma +\mu )I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R.\end{aligned}}} ここで、 S + E + I + R = N {\displaystyle S+E+I+R=N} であるが、 これは、出生率と死亡率が等しいという（縮退した）仮定のために一定であるだけで、一般的に N {\displaystyle N} は変数である。 このモデルについて、基本再生産数は R 0 = a μ + a β μ + γ {\displaystyle R_{0}={\frac {a}{\mu +a}}{\frac {\beta }{\mu +\gamma }}} である。 SIRモデルと同様に、この場合においても、感染症の無い平衡解（DFE: N,0,0,0）とエンデミックな平衡解（EE）があり、生物学的に意味を持つ初期条件とは独立に以下を示すことができる。 ( S ( 0 ) , E ( 0 ) , I ( 0 ) , R ( 0 ) ) ∈ { ( S , E , I , R ) ∈ [ 0 , N ] 4 : S ≥ 0 , E ≥ 0 , I ≥ 0 , R ≥ 0 , S + E + I + R = N } {\displaystyle \left(S(0),E(0),I(0),R(0)\right)\in \left\{(S,E,I,R)\in [0,N]^{4}:S\geq 0,E\geq 0,I\geq 0,R\geq 0,S+E+I+R=N\right\}} これは R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → + ∞ ( S ( t ) , E ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = D F E = ( N , 0 , 0 , 0 ) , {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=DFE=(N,0,0,0),} R 0 > 1 , I ( 0 ) > 0 ⇒ lim t → + ∞ ( S ( t ) , E ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = E E {\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=EE} を満たす。 接触率 β ( t ) {\displaystyle \beta (t)} が周期的に変化する場合、DFEの大域的誘引性の条件は、周期的な係数を持つ以下の線形系 d E 1 d t = β ( t ) I 1 − ( γ + a ) E 1 d I 1 d t = a E 1 − ( γ + μ ) I 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dE_{1}}{dt}}&=\beta (t)I_{1}-(\gamma +a)E_{1}\\[8pt]{\frac {dI_{1}}{dt}}&=aE_{1}-(\gamma +\mu )I_{1}\end{aligned}}} が安定なことである（すなわち、複素平面における単位円内にフロケの固有値を持つ）。
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