SISモデル
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SISモデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/07 14:13 UTC 版)
「疫学における区画モデル」の記事における「SISモデル」の解説
風邪やインフルエンザなどの感染症の中には、長期的な免疫が得られないものがある。このような感染症は、感染から回復しても免疫力が得られず、再び感受性となる。 モデルは d S d t = − β S I N + γ I d I d t = β S I N − γ I {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-{\frac {\beta SI}{N}}+\gamma I\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I\end{aligned}}} である。 ここで留意すべきは、総人口をNで表わすと、 d S d t + d I d t = 0 ⇒ S ( t ) + I ( t ) = N {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}=0\Rightarrow S(t)+I(t)=N} が成り立つことである。すると、 d I d t = ( β − γ ) I − β N I 2 {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=(\beta -\gamma )I-{\frac {\beta }{N}}I^{2}} となる。すなわち、感染の動態はロジスティック関数で支配されている。 ∀ I ( 0 ) > 0 {\displaystyle \forall I(0)>0} : β γ ≤ 1 ⇒ lim t → + ∞ I ( t ) = 0 , β γ > 1 ⇒ lim t → + ∞ I ( t ) = ( 1 − γ β ) N {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\beta }{\gamma }}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=0,\\[6pt]&{\frac {\beta }{\gamma }}>1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=\left(1-{\frac {\gamma }{\beta }}\right)N\end{aligned}}} 基本再生産数が1よりも大きいような、（変数の変換 I = y − 1 {\displaystyle I=y^{-1}} を行い、これを平均場方程式に代入することによって）このモデルの解析的解を見つけることができる。解は以下の通りである。 I ( t ) = I ∞ 1 + V e − χ t {\displaystyle I(t)={\frac {I_{\infty }}{1+Ve^{-\chi t}}}} 上式において、 I ∞ = ( 1 − γ / β ) N {\displaystyle I_{\infty }=(1-\gamma /\beta )N} は伝染感染集団、 χ = β − γ {\displaystyle \chi =\beta -\gamma } 、 V = I ∞ / I 0 − 1 {\displaystyle V=I_{\infty }/I_{0}-1} である。この系は閉じていると仮定されるため、感受性保持者集団は S ( t ) = N − I ( t ) {\displaystyle S(t)=N-I(t)} となる。 特殊な場合として、 γ = 0 {\displaystyle \gamma =0} と仮定することによって普通のロジスティック関数が得られる。これは、 R = 0 {\displaystyle R=0} 、すなわち隔離が起こらないSIRモデルにおいても考慮することができる。これは「SIモデル」である。 S = N − I {\displaystyle S=N-I} を用いる微分方程式はしたがって、 d I d t ∝ I ⋅ ( N − I ) . {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}\propto I\cdot (N-I).} と簡約される。 長期的には、このモデルでは、すべての個体が感染することになる。
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