一成分の反応拡散方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/18 16:20 UTC 版)
「反応拡散系」の記事における「一成分の反応拡散方程式」の解説
最も簡単な反応拡散方程式は、空間一次元における単一物質の濃度 u に関するもので、 ∂ t u = D ∂ x 2 u + R ( u ) {\displaystyle \partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u)} と記述され、これはKPP方程式（Kolmogorov-Petrovsky-Piskounov の略）とも呼ばれる。反応項が無い場合、方程式は純粋な拡散過程のみを表す。そのような方程式はフィックの第二法則に関係するものである。反応項が R(u) = u(1-u) である場合、生物学的な人口の広がりを表現するために元々用いられた、フィッシャーの方程式が得られる。R(u) = u(1 − u2) である場合、レイリー＝ベナール対流を表すためのニューウェル＝ホワイトヘッド＝シーゲル方程式が得られる。R(u) = u(1 − u)(u − α) および 0 < α < 1 である場合には、燃焼理論に現れるより一般的なゼルドビッチ方程式が得られる。そしてその特別な退化的な例は R(u) = u2 − u3 の場合に得られ、その方程式もまたゼルドビッチ方程式と呼ばれる。 一成分の系のダイナミクスは、ある特定の制限に関するものである。なぜならば、その発展方程式は変分系 ∂ t u = − δ L δ u {\displaystyle \partial _{t}u=-{\frac {\delta {\mathfrak {L}}}{\delta u}}} としても書かれ、したがってこれは次式で与えられる「自由エネルギー」 L {\displaystyle {\mathfrak {L}}} の永続的な減少を意味するからである。 L = ∫ − ∞ ∞ [ D 2 ( ∂ x u ) 2 − V ( u ) ] d x {\displaystyle {\mathfrak {L}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left[{\frac {D}{2}}(\partial _{x}u)^{2}-V(u)\right]{\text{d}}x} ここで V(u) は R(u)=dV(u)/du であるようなポテンシャルを表す。 一つ以上の定常同次解を備える系において、典型的な解は、その同次状態をつなぐ進行波として与えられる。そのような解は、その形状を変えずに一定の速度で移動し、u(x, t) = û(ξ) と記述される。ここで ξ = x − ct であり c はその進行波の速度を表す。ここで、進行波は一般的に安定な構造を備えるが、非単調な定常解（例えば、前進と反前進のペアで構成される局所化された領域）は不安定であることに注意することである。c = 0 の場合には、この記述内容には次のような簡単な証明が存在する：u0(x) が定常解、u=u0(x) + ũ(x, t) が無限小摂動解であるなら、線型安定性解析によって次の方程式が導かれる。 ∂ t u ~ = D ∂ x 2 u ~ − U ( x ) u ~ , U ( x ) = − R ′ ( u ) | u = u 0 ( x ) . {\displaystyle \partial _{t}{\tilde {u}}=D\partial _{x}^{2}{\tilde {u}}-U(x){\tilde {u}},\quad U(x)=-R^{\prime }(u)|_{u=u_{0}(x)}.} この解 ũ = ψ(x)exp(−λt) に対し、シュレディンガー型の固有値問題 H ^ ψ = λ ψ , H ^ = − D ∂ x 2 + U ( x ) , {\displaystyle {\hat {H}}\psi =\lambda \psi ,\qquad {\hat {H}}=-D\partial _{x}^{2}+U(x),} が得られる。ただし、その負の固有値が解の不安定性に帰結するものである。平行移動不変性により、ψ = ∂xu0(x) は固有値 λ = 0 に対応する中立的な固有関数であり、その他のすべての固有関数は、ゼロ解の数について単調に増加する実固有値の絶対値について、増加する結び目の数に従って分類される。固有関数 ψ = ∂x u0(x) は少なくとも一つのゼロ解を持ち、非単調な定常解については対応する固有値 λ = 0 は最小のものではなく、したがって不安定性を意味する。 進行波の速度 c を決定するために、移動座標系を考え、定常解を探すことが出来る。 D ∂ ξ 2 u ^ ( ξ ) + c ∂ ξ u ^ ( ξ ) + R ( u ^ ( ξ ) ) = 0. {\displaystyle D\partial _{\xi }^{2}{\hat {u}}(\xi )+c\partial _{\xi }{\hat {u}}(\xi )+R({\hat {u}}(\xi ))=0.} この方程式は、位置 û、時間 ξ、力 R、減衰係数 c に対する質量 D の動きに対する機械的な類似性を備えるものである。 空間一次元からより高次の空間次元に議論を移しても、依然として有効となる内容は数多く存在する。平らな、あるいは曲がった進行波は典型的な構造で、曲がった波の局所速度が局所曲率半径に依存するに従い、新たな効果が生じるものである（このことは極座標系を考えることで分かる）。この現象は、いわゆる曲率駆動不安定性を導く。
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