半正多面体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/19 02:08 UTC 版)
半正多面体 (はんせいためんたい、semi-regular polyhedron) またはアルキメデスの立体 (Archimedean solid) とは、凸な一様多面体のうち、正多面体以外のものである。また、対称性が低い (Dihedral) 角柱・反角柱・ミラーの立体も除く。全部で13種類ある。
一様多面体の条件は、全ての面が正多角形で、頂点形状が合同（頂点に集まる正多角形の種類と順序が同じ）なことである。正多面体（別名：プラトンの立体）は除外するので、半正多面体の面は2種類以上の正多角形で構成される。
準正多面体 (quasi-regular polyhedron) とは、このうち辺の近傍が合同なもので、立方八面体と二十・十二面体が当てはまる。
semi-regular polyhedron のことを準正多面体ということがあるが、数学用語の一般的な訳し方に沿うなら semi-regular polyhedron は半正多面体、quasi-regular polyhedron は準正多面体である[1]。
一覧
| 多面体 | 構成面 | 辺 | 頂点 | 頂点形状 | 双対 | 図 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 切頂四面体 | 正三角形 4枚 正六角形 4枚 | 18 | 12 | 3,6,6 | 三方四面体 |  |
| 切頂六面体 | 正三角形 8枚 正八角形 6枚 | 36 | 24 | 3,8,8 | 三方八面体 |  |
| 切頂八面体 | 正方形 6枚 正六角形 8枚 | 36 | 24 | 4,6,6 | 四方六面体 |  |
| 切頂十二面体 | 正三角形 20枚 正十角形 12枚 | 90 | 60 | 3,10,10 | 三方二十面体 |  |
| 切頂二十面体 （サッカーボール型） | 正五角形 12枚 正六角形 20枚 | 90 | 60 | 5,6,6 | 五方十二面体 |  |
| 立方八面体 | 正三角形 8枚 正方形 6枚 | 24 | 12 | 3,4,3,4 | 菱形十二面体 |  |
| 二十・十二面体 | 正三角形 20枚 正五角形 12枚 | 60 | 30 | 3,5,3,5 | 菱形三十面体 |  |
| 斜方立方八面体 | 正三角形 8枚 正方形 18枚 | 48 | 24 | 3,4,4,4 | 凧形二十四面体 |  |
| 斜方二十・十二面体 | 正三角形 20枚 正方形 30枚 | 120 | 60 | 3,4,5,4 | 凧形六十面体 |  |
| 斜方切頂立方八面体 | 正方形 12枚 正六角形 8枚 | 72 | 48 | 4,6,8 | 六方八面体 |  |
| 斜方切頂二十・十二面体 | 正方形 30枚 正六角形 20枚 | 180 | 120 | 4,6,10 | 六方二十面体 |  |
| 変形立方体 （鏡像あり） | 正三角形 32枚 正方形 6枚 | 60 | 24 | 3,3,3,3,4 | 五角二十四面体 | 
|
| 変形十二面体 （鏡像あり） | 正三角形 80枚 正五角形 12枚 | 150 | 60 | 3,3,3,3,5 | 五角六十面体 | 
|
半正多面体でない多面体
「面が正多角形で頂点形状が合同」という条件を満たすが、対称性が低いために半正多面体に含められない多面体に、ミラーの立体・アルキメデスの角柱・アルキメデスの反角柱がある。
ミラーの立体は、斜方立方八面体の上部三分の一を45度ひねった多面体である。頂点形状は合同であるが、対称性が2次元的で (D4d)、頂点に関する推移性を満たさない。ただし、ミラーの立体を半正多面体に含め、キラルな変形立方体と変形十二面体の鏡像を区別し、半正多面体を16種類とする場合もある。[2]
アルキメデスの正角柱とアルキメデスの反角柱を含めないのは、一般に対称性が2次元的であることの他、種類が無限にあることも理由である。アルキメデスの立体と言った場合は含むこともある。
正多面体からの作製
半正多面体は、正多面体のいずれかを削って作ると考えて、以下の5種類に分類することができる。[3]
- 切頂 n 面体
- 正 n 面体の頂点まわりを切頂したもの。切隅 n 面体、切頭 n 面体とも。拡張シュレーフリ記号は t{p, q}
- n・m 面体（準正多面体）
- 正 n または m 面体の頂点まわりを各辺の中点まで切ったもの。拡張シュレーフリ記号は
- 正四角錐
- 正五角錐
- 正三角台塔
- 正四角台塔
- 正五角台塔
- 正五角丸塔
- 正三角錐柱
- 正四角錐柱
- 正五角錐柱
- 正四角錐反柱
- 正五角錐反柱
- 双三角錐
- 双五角錐
- 双三角錐柱
- 双四角錐柱
- 双五角錐柱
- 双四角錐反柱
- 正三角台塔柱
- 正四角台塔柱
- 正五角台塔柱
- 正五角丸塔柱
- 正三角台塔反柱
- 正四角台塔反柱
- 正五角台塔反柱
- 正五角丸塔反柱
- 異相双三角柱
- 同相双三角台塔
- 同相双四角台塔
- 異相双四角台塔
- 同相双五角台塔
- 異相双五角台塔
- 同相五角台塔丸塔
- 異相五角台塔丸塔
- 同相双五角丸塔
- 同相双三角台塔柱
- 異相双三角台塔柱
- 異相双四角台塔柱
- 同相双五角台塔柱
- 異相双五角台塔柱
- 同相五角台塔丸塔柱
- 異相五角台塔丸塔柱
- 同相双五角丸塔柱
- 異相双五角丸塔柱
- 双三角台塔反柱
- 双四角台塔反柱
- 双五角台塔反柱
- 五角台塔丸塔反柱
- 双五角丸塔反柱
- 側錐三角柱
- 二側錐三角柱
- 三側錐三角柱
- 側錐五角柱
- 二側錐五角柱
- 側錐六角柱
- 双側錐六角柱
- 二側錐六角柱
- 三側錐六角柱
- 側錐十二面体
- 双側錐十二面体
- 二側錐十二面体
- 三側錐十二面体
- 二側錐欠損二十面体
- 三側錐欠損二十面体
- 側錐三側錐欠損二十面体
- 側台塔切頂四面体
- 側台塔切頂立方体
- 双側台塔切頂立方体
- 側台塔切頂十二面体
- 双側台塔切頂十二面体
- 二側台塔切頂十二面体
- 三側台塔切頂十二面体
- 側台塔回転斜方二十・十二面体
- 双側台塔回転斜方二十・十二面体
- 二側台塔回転斜方二十・十二面体
- 三側台塔回転斜方二十・十二面体
- 側台塔欠損斜方二十・十二面体
- 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体
- 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体
- 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体
- 双側台塔欠損斜方二十・十二面体
- 二側台塔欠損斜方二十・十二面体
- 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体
- 三側台塔欠損斜方二十・十二面体
- 変形双五角錐
- 変形四角反柱
- 球形屋根
- 側錐球形屋根
- 長球形屋根
- 広底長球形屋根
- 五角錐球形屋根
- 双三日月双丸塔
- 三角広底球形屋根丸塔
