κ 統計量とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

κ 統計量（一致率の検定）

例題：
　「二人の評定者が判定した結果が表 1 のようにまとめられた。評定が同じかどうか検定しなさい。」

表 1．二人の評定者の評定結果
		B1	B2	B3	合計
		評定者B
評定者A	A1	12	6	1	19
	A2	3	19	4	26
	A3	2	5	34	41
	合計	17	30	39	86

R による解析：

> x <- matrix(c(
+ 	12,  6,  1,
+ 	 3, 19,  4,
+ 	 2,  5, 34
+ ), byrow=T, ncol=3)

> kappa.stat(x)	# この関数の定義を見る
        kappa   sigma-kappa sigma-kappa-0       95% lcl       95% ucl 
 6.152535e-01  7.299153e-02  8.181292e-02  4.721927e-01  7.583143e-01 
      Z value       P value 
 7.520249e+00  2.733609e-14

κ 統計量（一致率の検定）

例題：
　「二人の評定者が判定した結果が表 1 のようにまとめられた。評定が同じかどうか検定しなさい。ただし，評定の違いに対して，表 5 のような重みをつけなさい。」

表 1．二人の評定者の評定結果
		B1	B2	B3	合計
		評定者B
評定者A	A1	12	6	1	19
	A2	3	19	4	26
	A3	2	5	34	41
	合計	17	30	39	86

表 5．二人の評定者の違いに対する重み
		B1	B2	B3
		評定者B
評定者A	A1	−−	1	3
	A2	1	−−	1
	A3	3	1	−−

R による解析：

> x <- matrix(c(
+ 	12,  6,  1,
+ 	 3, 19,  4,
+ 	 2,  5, 34
+ ), byrow=T, ncol=3)

> w <- matrix(c(
+ 	0, 1, 3,
+ 	1, 0, 1,
+ 	3, 1, 0
+ ), byrow=T, ncol=3)

> kappa.stat(x, w)	# この関数の定義を見る
      kappa-w  sigma-kappa-w sigma-kappa-w0        95% lcl        95% ucl 
  6.932629e-01   6.865739e-02   1.126106e-01   5.586969e-01   8.278289e-01 
       Z value        P value 
  6.156284e+00   3.723580e-10

κ 統計量（一致率の検定）

　二人の評定者の判定結果がどの程度一致しているかを表す指標と，一致率に関する検定と推定を行う。

例題：
　「二人の評定者が判定した結果が表 1 のようにまとめられた。評定が同じかどうか検定しなさい。」

表 1．二人の評定者の評定結果
		B1	B2	B3	合計
		評定者B
評定者A	A1	12	6	1	19
	A2	3	19	4	26
	A3	2	5	34	41
	合計	17	30	39	86

検定手順:

前提
- 帰無仮説 H0：「一致率が 0 である（評定結果は一致していない）」。
- 対立仮説 H1：「一致率は 0 ではない（評定結果は一致している）」。
- 有意水準 α で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。

評定者 A，B の評定結果を表 2 のようにまとめる。Oij は，評定者 A が i という評定，評定者 B が j という評定をしたケース数である。計算に必要なのは対角線上の桝目の期待値（色を付けたもの）だけである。

表 2．二人の評定者の評定結果
　　　k × k 分割表（観察数）
		B1	B2	…	Bk	合計
		評定者B
評定者A	A1	O11	O12	…	O1k	O1・
	A2	O21	O22	…	O2k	O2・
	：	：	：	…	：	：
	Ak	Ok1	Ok2	…	Okk	Ok・
	合計	O・1	O・2	…	O・k	n

評定者 A，B の評定が独立であると仮定すると，各桝目の期待値 Eij は次式のように表される。計算に必要なのは対角線上の桝目の期待値（色を付けたもの）だけである。
κ 統計量（一致率の検定）

表 3．二人の評定者の評定結果
　　　k × k 分割表（期待値）
		B1	B2	…	Bk	合計
		評定者B
評定者A	A1	E11	E12	…	E1k	E1・
	A2	E21	E22	…	E2k	E2・
	：	：	：	…	：	：
	Ak	Ek1	Ek2	…	Ekk	Ek・
	合計	E・1	E・2	…	E・k	n

例題では，

表 4．二人の評定者の評定結果
		B1	B2	B3	合計
		評定者B
評定者A	A1	3.756	6.628	8.616	19
	A2	5.140	9.070	11.791	26
	A3	8.105	14.302	18.593	41
	合計	17	30	39	86

表 2 での評定者 A，B の一致率 Po，Pe は，次式のように表せる。

例題では，
　Po = ( 12 + 19 + 34 ) / 86 = 0.75581，
　Pe = ( 17・19 / 86 + 30・26 / 86 + 39・41 / 86 ) / 86 = 0.36533 である。
Qo = 1 - Po，Qe = 1 - Pe とすると，κ統計量は次式で求められる。

例題では，Qo = 1 - 0.75581 = 0.24419，Qe = 1 - 0.36533 = 0.63467，
κ = ( 0.75581 - 0.36533 ) / ( 1 - 0.36533 ) ≒ 0.61525 である。
κの標準誤差は 2 種類定義される。1 つは，κ の信頼区間を求めるための σκ，もう 1 つは κ が 0 であるかどうかの検定を行うための σκ0 である。

例題では，σκ = 0.07299，σκ0 = 0.08181 である。
κ 統計量の ( 1 - α ) 100 % 信頼区間は，上側確率が α / 2 に対応する正規分布のパーセント点を Zα / 2 とすると，次式で表される。

例題では，95% 信頼限界を求めるので α = 0.05，したがって Zα / 2 = 1.96 であるから，0.61525 ± 1.96・0.07299，すなわち信頼区間は [ 0.47219, 0.75831 ] である。
κ が 0 であるかどうかの検定は，次式で求められる Z が，正規分布に従うことを利用する。

例題では，Z = 0.61525 / 0.08181 = 7.52047 となる。
有意確率を P = Pr｛｜Z｜≧ Z0 ｝とする。
正規分布表，または正規分布の上側確率の計算を参照すること。
例題では，P ＜ 0.0001 である。
帰無仮説の採否を決める。
- P ＞ α のとき，帰無仮説を採択する。「一致率が 0 でないとはいえない（評定結果が一致しているとはいえない）」。
- P ≦ α のとき，帰無仮説を棄却する。「一致率は 0 ではない（評定結果は一致している）」。
例題では，有意水準 5% で検定を行うとすれば（α = 0.05），P ＜ α であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「評定結果は一致している」という結論になる。

重み付け κ 統計量

上述の重み付けしない κ 統計量は，実際には対角線上の桝目（すなわち，両評定者が一致した評定をした場合）の重みを 0，非対角線上の桝目（評定が異なる場合）の重みを 1 とした重み付け κ 統計量である。
もし，評定者 A が 1 と評定し評定者 B が 2 と評定した場合と，評定者 A が 1 と評定し評定者 B が 3 と評定した場合には，不一致の程度が異なると考える場合には，より不一致であると考える桝目の重みを大きくすればよい。
各桝目の重みを Wij （ Wii = 0,Wij ＞ 0 ）としたときは，重み付け κ 統計量は以下のように定義される。