一元配置分散分析とは?

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一元配置分散分析


例題
 「12 匹のラット3 種類の餌を与えたときの肝臓の重量表 1 のようであった。餌の種類により肝臓の重量の母平均値に差があるといえいるか,有意水準 5% で検定しなさい。」
表 1.餌の種類による肝臓の重量
A餌 3.42 3.84 3.96 3.76
B餌 3.17 3.63 3.47 3.44 3.39
C餌 3.64 3.72 3.91



aov 関数を用いる場合 > d <- data.frame(x=x, g=as.factor(g)) # データフレームにする > summary(aov(x ~ g, d)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) g 2 0.31786 0.15893 4.6146 0.04175 * Residuals 9 0.30997 0.03444 --- Signif. codes: 0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 R による解析:
> x <- c(3.42, 3.84, 3.96, 3.76, 3.17, 3.63, 3.47, 3.44, 3.39, 3.64, 3.72, 3.91)
> g <- c(1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3)

oneway.test 関数を用いる場合

> oneway.test(x ~ g, var=T)

	One-way analysis of means

data:  x and g 
F = 4.6146, num df = 2, denom df = 9, p-value = 0.04175

> oneway.test(x ~ g)  # 等分散仮定しないとき(Welch方法拡張One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  x and g 
F = 5.0045, num df = 2.000, denom df = 5.389, p-value = 0.05908

等分散でないときの平均値の差の検定によれば,「等分散仮定しない検定法Welch方法拡張)」を採用するのが良さそうである。



一元配置分散分析


 二次データ基づいて,一元配置分散分析を行う


例題
 「4 つの群におけるある変数測定値集計結果表 2 のようであった。母平均値に差があるといえいるか,有意水準 5% で検定しなさい。」
表 2架空データ

件数  平均値 標準偏差
第1群 8 135.83 19.59
第2群 11 160.49 12.28
第3群 22 178.35 15.01
第4群 6 188.06 9.81
全体 47 168.17 22.40



R による解析:
> n <- c(8, 11, 22, 6)
> m <- c(135.83, 160.49, 178.35, 188.06)
> SD <- c(19.59, 12.28, 15.01, 9.81)
> my.oneway.anova(n, m, SD^2)	# この関数の定義を見る
$anova.table
                     SS d.f.        MS
between class 13669.396    3 4556.4655
within class   9406.843   43  218.7638
total         23076.240   46  501.6574

$result
           F        d.f.1        d.f.2            P 
2.082824e+01 3.000000e+00 4.300000e+01 1.737484e-08 



一元配置分散分析


 一元配置分散分析は,各群の分散等しいことを前提にしている。分散均一性をまえもって検定しておく方がよい。
 等分散でないときの平均値の差の検定によれば,「等分散仮定しない検定法Welch方法拡張)」を採用するのが良さそうである。
 等分散性確かめてから一元配置分散分析という手順は,検定多重性という点でも問題がある。最初から等分散仮定しない一元配置分散分析を行う方がよい。


例題
 「12 匹のラット3 種類の餌を与えたときの肝臓の重量表 1 のようであった。餌の種類により肝臓の重量の母平均値に差があるといえいるか,有意水準 5% で検定しなさい。」
表 1.餌の種類による肝臓の重量
A餌 3.42 3.84 3.96 3.76
B餌 3.17 3.63 3.47 3.44 3.39
C餌 3.64 3.72 3.91



検定手順:
  1. 前提
  2. 群の数を k,全ケース数を n,各群のケース数を nj全体平均値一元配置分散分析,第 j 群における平均値一元配置分散分析 とする(j=1, 2, ... , k;Σ nj = n)。
  3. 平方和 St求める(全体不偏分散 Ut求められていればSt = ( n - 1 ) Utしてもよい)。
    一元配置分散分析
    例題場合は,St = 0.6278 である。
  4. 平方和 Sb求める。
    一元配置分散分析
    例題場合は,Sb = 0.3179 である。
  5. 平方和 Sw求める。Sw = St - Sb関係式から求めてもよい。
    一元配置分散分析
    例題場合は,Sw = St - Sb = 0.3100 である。
  6. 表 2 に示すような分散分析表を作る
    表 2. 一元配置分散分析表
    変動要因 変動平方和 自由度 不偏分散平均平方 F 値
    群間 Sb dfb = k - 1 Vb = Sb / dfb F0 = Vb / Vw
    群内 Sw dfw = n - k Vw = Sw / dfw
    全体 St = Sb + Sw dft = n - 1 Vt = St / dft

    例題場合,以下のような分散分析表を得る。
    変動要因 変動平方和 自由度 不偏分散平均平方 F 値
    群間 0.3179 2 0.1589 4.6146
    群内 0.3100 9 0.0344
    全体 0.6278 11 0.0571

    F0 = 4.6146 となる。
  7. 検定統計量 F0 は,第 1 自由度dfb( = k - 1 ),第 2 自由度dfw( = n - k )の F 分布に従う。
    例題場合自由度dfb= 2,dfw = 9 である。
  8. 第 1 自由度dfb,第 2 自由度dfwF 分布において,有意確率P = Pr{F ≧ F0} とする。
    F 分布表(α = 0.05,α = 0.025,α = 0.01,α = 0.005),または F 分布の上確率計算参照すること。
    例題では,自由度が(2,9)の F 分布において,Pr{F ≧ 4.26}= 0.05 であるからP = Pr{F ≧ 4.6146}< 0.05 である(正確な有意確率P = 0.0417488)。
  9. 帰無仮説採否決める。

    例題では,有意水準 5% で検定を行うとすれば(α = 0.05),P < α であるから帰無仮説棄却する。すなわち,「各群の平均値等しくない」。


一元配置分散分析

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2015/03/03 21:06 UTC 版)

統計学において、一元配置分散分析(いちげんはいちぶんさんぶんせき、: one-way analysis of variance、略称: one-way ANOVA)は、F分布を用いて3つ以上の標本の平均を比較するために使われる手法である。この手法は数値データに対してのみ使うことができる[1]


  1. ^ a b Howell, David (2002). Statistical Methods for Psychology. Duxbury. pp. 324–325. ISBN 0-534-37770-X. 
  2. ^ Kirk, RE (1995). Experimental Design: Procedures For The Behavioral Sciences (3 ed.). Pacific Grove, CA, USA: Brooks/Cole. 
  3. ^ Montgomery, Douglas C. (2001). Design and Analysis of Experiments (5th ed.). New York: Wiley. p. Section 3-2. ISBN 9780471316497. 
  4. ^ Moore, David S.; McCabe, George P. (2003). Introduction to the Practice of Statistics (4th ed.). W H Freeman & Co.. p. 764. ISBN 0716796570. 
  5. ^ Winkler, Robert L.; Hays, William L. (1975). Statistics: Probability, Inference, and Decision (2nd ed.). New York: Holt, Rinehart and Winston. p. 761. 


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