一元配置分散分析
例題：
「12 匹のラットに 3 種類の餌を与えたときの肝臓の重量は表 1 のようであった。餌の種類により肝臓の重量の母平均値に差があるといえいるか，有意水準 5% で検定しなさい。」
| A餌 | 3.42 | 3.84 | 3.96 | 3.76 | |
|---|---|---|---|---|---|
| B餌 | 3.17 | 3.63 | 3.47 | 3.44 | 3.39 |
| C餌 | 3.64 | 3.72 | 3.91 |
aov 関数を用いる場合 > d <- data.frame(x=x, g=as.factor(g)) # データフレームにする > summary(aov(x ~ g, d)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) g 2 0.31786 0.15893 4.6146 0.04175 * Residuals 9 0.30997 0.03444 --- Signif. codes: 0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 R による解析:
> x <- c(3.42, 3.84, 3.96, 3.76, 3.17, 3.63, 3.47, 3.44, 3.39, 3.64, 3.72, 3.91) > g <- c(1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3) oneway.test 関数を用いる場合 > oneway.test(x ~ g, var=T) One-way analysis of means data: x and g F = 4.6146, num df = 2, denom df = 9, p-value = 0.04175 > oneway.test(x ~ g) # 等分散を仮定しないとき（Welch の方法の拡張） One-way analysis of means (not assuming equal variances) data: x and g F = 5.0045, num df = 2.000, denom df = 5.389, p-value = 0.05908 等分散でないときの平均値の差の検定によれば，「等分散を仮定しない検定法（Welch の方法の拡張）」を採用するのが良さそうである。
一元配置分散分析
二次データに基づいて，一元配置分散分析を行う
例題：
「4 つの群におけるある変数の測定値の集計結果は表 2 のようであった。母平均値に差があるといえいるか，有意水準 5% で検定しなさい。」
| 件数 | 平均値 | 標準偏差 | |
|---|---|---|---|
| 第1群 | 8 | 135.83 | 19.59 |
| 第2群 | 11 | 160.49 | 12.28 |
| 第3群 | 22 | 178.35 | 15.01 |
| 第4群 | 6 | 188.06 | 9.81 |
| 全体 | 47 | 168.17 | 22.40 |
R による解析:
> n <- c(8, 11, 22, 6) > m <- c(135.83, 160.49, 178.35, 188.06) > SD <- c(19.59, 12.28, 15.01, 9.81) > my.oneway.anova(n, m, SD^2) # この関数の定義を見る $anova.table SS d.f. MS between class 13669.396 3 4556.4655 within class 9406.843 43 218.7638 total 23076.240 46 501.6574 $result F d.f.1 d.f.2 P 2.082824e+01 3.000000e+00 4.300000e+01 1.737484e-08
一元配置分散分析
一元配置分散分析は，各群の分散が等しいことを前提にしている。
等分散でないときの平均値の差の検定によれば，「等分散を仮定しない検定法（Welch の方法の拡張）」を採用するのが良さそうである。
等分散性を確かめてから一元配置分散分析という手順は，検定の多重性という点でも問題がある。最初から等分散を仮定しない一元配置分散分析を行う方がよい。
例題：
「12 匹のラットに 3 種類の餌を与えたときの肝臓の重量は表 1 のようであった。餌の種類により肝臓の重量の母平均値に差があるといえいるか，有意水準 5% で検定しなさい。」
| A餌 | 3.42 | 3.84 | 3.96 | 3.76 | |
|---|---|---|---|---|---|
| B餌 | 3.17 | 3.63 | 3.47 | 3.44 | 3.39 |
| C餌 | 3.64 | 3.72 | 3.91 |
検定手順:
- 前提
- 帰無仮説 H0：「各群の母平均値は等しい」。
- 対立仮説 H1：「各群の母平均値は等しくない」。
- 有意水準 α で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。
注：意味的に両側検定である。F 分布の片側確率を使うという形式的な意味では片側検定である。
- 群の数を k，全ケース数を n，各群のケース数を nj，全体の平均値を
，第 j 群における平均値を 
とする（j=1， 2， ... ， k；Σ nj = n）。
- 平方和 St を求める（全体の不偏分散 Ut が求められていれば，St = ( n - 1 ) Ut としてもよい）。
例題の場合は，St = 0.6278 である。
- 平方和 Sb を求める。
例題の場合は，Sb = 0.3179 である。
- 平方和 Sw を求める。Sw = St - Sb の関係式から求めてもよい。
例題の場合は，Sw = St - Sb = 0.3100 である。
- 表 2 に示すような分散分析表を作る。
表 2. 一元配置分散分析表 変動要因 変動（平方和） 自由度 不偏分散（平均平方） F 値 群間 Sb dfb = k - 1 Vb = Sb / dfb F0 = Vb / Vw 群内 Sw dfw = n - k Vw = Sw / dfw 全体 St = Sb + Sw dft = n - 1 Vt = St / dft
例題の場合，以下のような分散分析表を得る。
変動要因 変動（平方和） 自由度 不偏分散（平均平方） F 値 群間 0.3179 2 0.1589 4.6146 群内 0.3100 9 0.0344 全体 0.6278 11 0.0571
F0 = 4.6146 となる。
- 検定統計量 F0 は，第 1 自由度が dfb（ = k - 1 ），第 2 自由度が dfw（ = n - k ）の F 分布に従う。
例題の場合，自由度は dfb= 2，dfw = 9 である。
- 第 1 自由度が dfb，第 2 自由度が dfw の F 分布において，有意確率を P = Pr｛F ≧ F0｝ とする。
F 分布表（α = 0.05，α = 0.025，α = 0.01，α = 0.005），または F 分布の上側確率の計算を参照すること。
例題では，自由度が（2，9）の F 分布において，Pr｛F ≧ 4.26｝= 0.05 であるから，P = Pr｛F ≧ 4.6146｝＜ 0.05 である（正確な有意確率：P = 0.0417488）。
- 帰無仮説の採否を決める。
例題では，有意水準 5% で検定を行うとすれば（α = 0.05），P ＜ α であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「各群の平均値は等しくない」。
，第 j 群における
とする（j=
一元配置分散分析
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/28 01:18 UTC 版)
統計学において、一元配置分散分析（いちげんはいちぶんさんぶんせき、英: one-way analysis of variance、略称: one-way ANOVA）は、F分布を用いて3つ以上の標本の平均を比較するために使われる手法である。この手法は数値データに対してのみ使うことができる[1]。
- ^ a b Howell, David (2002). Statistical Methods for Psychology. Duxbury. pp. 324–325. ISBN 0-534-37770-X.
- ^ Kirk, RE (1995). Experimental Design: Procedures For The Behavioral Sciences (3 ed.). Pacific Grove, CA, USA: Brooks/Cole.
- ^ Montgomery, Douglas C. (2001). Design and Analysis of Experiments (5th ed.). New York: Wiley. p. Section 3-2. ISBN 9780471316497.
- ^ Moore, David S.; McCabe, George P. (2003). Introduction to the Practice of Statistics (4th ed.). W H Freeman & Co.. p. 764. ISBN 0716796570.
- ^ Winkler, Robert L.; Hays, William L. (1975). Statistics: Probability, Inference, and Decision (2nd ed.). New York: Holt, Rinehart and Winston. p. 761.
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- 2 一元配置分散分析の概要
- 3 参考文献
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