1!2!3!4!
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/09/16 16:55 UTC 版)
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外部リンク
- This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 124), (Week 126), (Week 147), (Week 213)
- Euler’s Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 - By John Baez
- John Baez (2008年9月19日). “My Favorite Numbers: 24”. 2010年4月22日閲覧。
- The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation by Terence Tao
- A recursive evaluation of zeta of negative integers by Luboš Motl
- Sum of Natural Numbers (second proof and extra footage) オイラーの方法の解説がある。
- What do we get if we sum all the natural numbers? response to comments about video by Tony Padilla
- Related article from New York TImes
- Divergent Series: why 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 アリゾナ大学の Brydon Cais による
注釈
- ^ 数を関数に昇華して考えることは、二つの広汎な総和法のクラスの、アーベル総和法やボレル総和法などを含む一派として理解することができる[12]。
- ^ より一般に、ζ(s) の値は ∑∞
n=1 n−sehn の h = 0 の周りでのローラン展開の定数項として常に与えられる。 - ^ これは微分方程式において用いられる正規化とは異なる
- ^ h はプランク定数。振動数 ν の逆数はその振動の周期 τ を表し、振動数と周期の積は ντ = 1 である。振動数に似たものに角振動数 ω があり、角振動数と振動数の間には ω = 2πν という関係がある。三角関数の周期は 2π であるため、物理学の文献では振動数でなく角振動数が好んで用いられる。それに合わせてプランク定数 h を 2π で割った換算プランク定数（ディラック定数）ħ ≔ h/2π がしばしば用いられる。ν, h および ω, ħ の積は互いに等しい (hν = ħω)。
出典
- ^ Lepowsky 1999, pp. 327–340.
- ^ Gannon 2010, p. 140.
- ^ Pengelley 2002, p. 3.
- ^ Carl,Erickson(2005),A Geometric Perspective on the Riemann Zeta Function's Partial Sums
- ^ “関数の拡張と1+2+3+4+5+...=-1/12 の謎|きいねく|note”. note. 2021年12月7日閲覧。
- ^ Hardy 1949, p. 10.
- ^ ラマヌジャンのノート第 1 巻 8 章
- ^ Abdi 1992, p. 41.
- ^ Berndt 1985, pp. 135–136.
- ^ Euler 1768, pp. 83–106.
- ^ a b c Tao 2010.
- ^ Knopp 1990, pp. 475–476.
- ^ Stopple 2003, p. 202.
- ^ Knopp 1990, pp. 490–492.
- ^ Berndt et al. p. 53.
- ^ a b Berndt 1985, pp. 13, 134.
- ^ Hardy 1949, p. 346.
- ^ Zee 2003, pp. 65–67.
- ^ Zeidler 2007, pp. 305–306.
- ^ Leavitt 2007, pp. 61–62.
- ^ Thomas 2008.
- ^ ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12 - YouTube
- ^ a b Overbye, Dennis (February 3, 2014), “In the End, It All Adds Up to – 1/12”, New York TImes 2014年2月3日閲覧。
- ^ Sum of Natural Numbers (second proof and extra footage) - YouTube
- ^ Padilla, Tony, What do we get if we sum all the natural numbers? 2014年2月3日閲覧。
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