1!2!3!4!
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/09/16 16:55 UTC 版)
『1!2!3!4! 』は、グループ魂 6枚目のオリジナルアルバム。
グループ魂
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1.スーパー!サマー! アックスボンバー! ラブハンター! 06! - 2.「卒業」からの卒業 - 3.I was PUNK!!〜グループ魂にあっちゃん (NEW ROTE'KA)は??
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1!2!3!4! - 6.20名
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関連項目
1+2+3+4+…
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/11 02:11 UTC 版)
総和可能性について 様々知られた古典的な発散級数の中でも 1 + 2 + 3 + 4 + … は有限値へ持ち込むことが比較的難しい。発散級数に有限な数値を割り当てる総和法 は多数存在するが、それらの中には総和法としての強さが比較可能なものがある。例えば、チェザロ総和法 は緩やかに発散するグランディ級数 1 − 1 + 1 − 1 + … を 1 / 2 アーベル総和法 はグランディ級数を 1/2 に総和するのみならず、より扱いの難しい級数 1 − 2 + 3 − 4 + … 1 / 4
これらの級数と異なり、1 + 2 + 3 + 4 + … はチェザロ総和可能でもアーベル総和可能でもない。これらの総和法が適用できるのは収束級数と振動級数に対してのみであり、+∞ に発散する級数については有限な値を生み出すことはできないのである。そこでより発展的な総和法が必要になるのであるが、それは例えばゼータ関数正規化やラマヌジャン総和法である。だいたいそういった方法による経験論を用いて、この級数の値が −1 / 12 であると論ずることができる。
ヒューリスティックな説明 ラマヌジャン の最初のノート。級数に対する「定数」を書いた一節。ラマヌジャン は彼のノートブックの8章において "1 + 2 + 3 + 4 + … = −1 / 12 " の導出を二種類の方法で与えている[7]
考察の第一の鍵は、正項級数 1 + 2 + 3 + 4 + … が交項級数 1 − 2 + 3 − 4 + … にきわめてよく似ていることである。後者の級数もまた発散するのであるが、扱いは極めて容易で、これに値を割り当てる古典的な総和法がいくつか存在し、それは18世紀にはすでに発見されていた。
さて級数 1 + 2 + 3 + 4 + … を級数 1 − 2 + 3 − 4 + … に変形するのに、第二項から 4 を引き、第四項から 8 を引き、第六項から 12 を引き……、という具合にやって行けば、引かれる総量は 4 + 8 + 12 + 16 + … でこれはもとの級数の 4 倍である。これを少し代数学的に書いてみよう。この級数の「和」となるべきものがあるとしてそれを c = 1 + 2 + 3 + 4 + …4 倍してもとの式から引けば
c
=
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
⋯
4
c
=
4
+
8
+
12
+
⋯
−
3
c
=
1
−
2
+
3
−
4
+
5
−
6
+
⋯
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}c&{}={}&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots \\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots \\-3c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \\\end{alignedat}}}
リーマンゼータ ζ (s )s > 1ζ (s ) > 1s = 1ζ (−1) = −1 / 12
ゼータ関数正規化 (zeta function regularization) において、級数
∑
n
=
1
∞
n
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }n}
級数 1 + 2 + 3 + 4 + …
平滑化の漸近的挙動。この抛物線の y -切片は −1/12 である。 テレンス・タオ は級数の平滑化によって −1 / 12 が得られることを指摘している。平滑化はゼータ関数正規化（複素解析 を背景とする）とラマヌジャン総和法（オイラー＝マクローリンの公式 の便法）とを概念的に橋渡しするものである。これは、保守的な級数変化法を直接操作する代わりに、実解析 の方法論を用いるのである。
この考えは、素性の悪い (ill-behaved) 離散的級数
∑
n
=
0
N
n
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=0}^{N}n}
(well-behaved) のカットオフ関数 f を用いて、その滑らかな変形版
∑
n
=
0
∞
n
f
(
n
/
N
)
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=0}^{\infty }nf(n/N)}
f (0) = 1正規化 されていなければならない[注釈 3] 0 に減少する必要がある。便宜のため、f は滑らか で有界 かつ台がコンパクト であるものと仮定する。このとき、この平滑化された和が − 1 / 12 CN 2 に漸近 することが示される（ただし C は f に依存して決まる定数）。この漸近展開の定数項は f の選び方に依らないが、これが必ずしも解析接続によって得られる値 −1 / 12 と同じであると決まっているわけではない。
ラマヌジャン総和法 1 + 2 + 3 + 4 + … のラマヌジャン和（英語版 ） も −1 / 12 になる。ハーディ へ宛てたラマヌジャンの二通目の書簡 (1913年2月27日付け) には
"Dear Sir, I am very much gratified on perusing your letter of the 8th February 1913. I was expecting a reply from you similar to the one which a Mathematics Professor at London wrote asking me to study carefully Bromwich's
Infinite Series and not fall into the pitfalls of divergent series. … I told him that the sum of an infinite number of terms of the series:
1 + 2 + 3 + 4 + … = −1 / 12 under my theory. If I tell you this you will at once point out to me the lunatic asylum as my goal. I dilate on this simply to convince you that you will not be able to follow my methods of proof if I indicate the lines on which I proceed in a single letter. …"
[15] （
やあ先生、1913年2月8日付の手紙を熟読してすごく満足したよ。僕は、ロンドンのどこかの数学教授と同じように先生も「ブロムウィッチ（英語版 ） の『無限級数』を用心深く学んで、発散級数の落とし穴に嵌らないようにしなさい」なんて返事すると思ってたんだ。……無限個の項を持つ数列の和：1 + 2 + 3 + 4 + … が僕の理論では −1 / 12 になると言ったときのように。こんなことを僕が言い出したら、先生はすぐ僕に精神病院送りになるぞと忠告するだろう。僕がこれを書くのは単に、一通の手紙に書けるだけの証明では先生が僕の方法を追えないかもしれないってことを、先生に納得してもらうためです。… [訳語疑問点 ）
と書かれている。
ラマヌジャン総和法は、級数の部分和に対するオイラー＝マクローリンの公式 の定数項だけを分離する方法である。関数 f に対して、級数
∑
k
=
1
∞
f
(
k
)
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)}
古典ラマヌジャン和 (classical Ramanujan sum) は
c
=
−
1
2
f
(
0
)
−
∑
k
=
1
∞
B
2
k
(
2
k
)
!
f
(
2
k
−
1
)
(
0
)
{\displaystyle c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)}
で定義される。ここで f (2k −1) f の (2k − 1) -階導関数で B 2k 2k -番目のベルヌーイ数 である (B 2 = 1/6B 4 = −1/30f (x ) = x f の一階導関数が f (1) = 1
c
=
−
1
6
⋅
1
2
!
=
−
1
12
{\displaystyle c=-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2!}}=-{\frac {1}{12}}}
を得る。
矛盾が起きるのを避けるため、ラマヌジャン総和法の現代的理論では、f の高階導関数が「オイラー＝マクローリンの公式の剰余項 が 0 に収束するのに充分な速さで減少する」という意味の「正則性」を持つことを要求する。ラマヌジャンはこの性質を暗に仮定している。この正則性を課すことによって、そのような正則な関数をとることができない 0 + 2 + 0 + 4 + … のような病的な級数にラマヌジャン総和法が適用されることは防げる。そのような級数について、ラマヌジャン和の代わりにゼータ関数正規化によって解釈されるべきである。この理由を以ってハーディは、既知の級数のラマヌジャン和を関連する級数の和を求めるのに用いるときには「厳重な注意」("great caution") を要すると述べた。
