1!2!3!4!
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/09/16 16:55 UTC 版)
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物理学での応用
ボゾン弦理論では、弦の取り得るエネルギー準位、とくに最低エネルギー準位を計算することが試みられる。砕けた言い方をすると、時空の次元を D とするとき、弦の振動は D − 2 個の独立な量子調和振動子（各々は横波）の集まりと見ることができて、基本振動数、すなわち弦の振動数の中で最も小さいものを ν とすると振動子のエネルギーにおける n 番目の振動子の寄与は hνn/2 と表せるので[注釈 4]、件の級数を用いれば全ての振動数に亘る和を計算すると −hν(D − 2)/24 が得られる。最終的には、この事実にゴダード・ソーンの定理を合わせて、ボゾン弦理論が 26 次元でないと無矛盾にならないことが導かれる。また、これに超対称性を取り入れた超弦理論は９次元（+時間1次元で計10次元）において無矛盾であることが示される。
級数 1 + 2 + 3 + 4 + … の計算は一次元のスカラー場に対するカシミール力の計算にも関わってくる。指数的カットオフ関数は級数を滑らかにするのに充分で、これは高エネルギー状態が導電性板によってブロックされないという事実を表している。この問題の空間対称性はこの展開の二次の項がキャンセルされることの原因である。残るのは定数項 −1/12 であるが、この負符号はカシミール力が吸引力であるという事実を反映している[18]。
同様の計算は 3 次元でも存在し、リーマンゼータの代わりにエプスタインゼータが用いられる[19]。
メディアでの扱い
デーヴィッド・リーヴィットの小説 The Indian Clerk には、ハーディとリトルウッドがこの級数について議論するシーンが出てくる[20]。サイモン・マクバーニーの2007年の作品 A Disappearing Number では舞台の冒頭でこの級数が取り上げられている[21]。
2014年1月9日、YouTube の番組 Numberphile でこの級数に関する動画が投稿され[22]、公開から1ヶ月間で 150 万以上の再生数を獲得した[23]。動画は 8 分間でノッティンガム大学の物理学者、トニー・パディーヤが解説をしている。パディーヤは S1 = 1 − 1 + 1 − 1 + … と S2 = 1 − 2 + 3 − 4 + … から始め、最後に S = 1 + 2 + 3 + 4 + … を、ラマヌジャンの議論と同様に項別の引き算を用いてそれらの級数の関連性を述べている。Numberphile はノッティンガム大学の物理学者、エド・コープランドを招いた 21 分の動画も制作しており、アーベル和として S2 = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4 となること、ζ(−1) として S = 1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12 となることについて、より詳細に解説している[24] 。 後日、最初の動画が厳密性に欠けているという批判があり、パディーヤは彼のウェブページで、動画の中で行った操作と実際に行われている relevant なディリクレ級数に対する解析接続との関係についての解説を書いている[25]。 ニューヨーク・タイムズの Numberphile の動画に関する記事で、数学者のエドワード・フレンケルは次のようにコメントしている[23]。「この計算は数学界における最高の秘密の一つだろう。外部の人間は誰もそれについて知らないのだ 」。
脚注
注釈
- ^ 数を関数に昇華して考えることは、二つの広汎な総和法のクラスの、アーベル総和法やボレル総和法などを含む一派として理解することができる[12]。
- ^ より一般に、ζ(s) の値は ∑∞
n=1 n−sehn の h = 0 の周りでのローラン展開の定数項として常に与えられる。 - ^ これは微分方程式において用いられる正規化とは異なる
- ^ h はプランク定数。振動数 ν の逆数はその振動の周期 τ を表し、振動数と周期の積は ντ = 1 である。振動数に似たものに角振動数 ω があり、角振動数と振動数の間には ω = 2πν という関係がある。三角関数の周期は 2π であるため、物理学の文献では振動数でなく角振動数が好んで用いられる。それに合わせてプランク定数 h を 2π で割った換算プランク定数（ディラック定数）ħ ≔ h/2π がしばしば用いられる。ν, h および ω, ħ の積は互いに等しい (hν = ħω)。
出典
- ^ Lepowsky 1999, pp. 327–340.
- ^ Gannon 2010, p. 140.
- ^ Pengelley 2002, p. 3.
- ^ Carl,Erickson(2005),A Geometric Perspective on the Riemann Zeta Function's Partial Sums
- ^ “関数の拡張と1+2+3+4+5+...=-1/12 の謎|きいねく|note”. note. 2021年12月7日閲覧。
- ^ Hardy 1949, p. 10.
- ^ ラマヌジャンのノート第 1 巻 8 章
- ^ Abdi 1992, p. 41.
- ^ Berndt 1985, pp. 135–136.
- ^ Euler 1768, pp. 83–106.
- ^ a b c Tao 2010.
- ^ Knopp 1990, pp. 475–476.
- ^ Stopple 2003, p. 202.
- ^ Knopp 1990, pp. 490–492.
- ^ Berndt et al. p. 53.
- ^ a b Berndt 1985, pp. 13, 134.
- ^ Hardy 1949, p. 346.
- ^ Zee 2003, pp. 65–67.
- ^ Zeidler 2007, pp. 305–306.
- ^ Leavitt 2007, pp. 61–62.
- ^ Thomas 2008.
- ^ ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12 - YouTube
- ^ a b Overbye, Dennis (February 3, 2014), “In the End, It All Adds Up to – 1/12”, New York TImes 2014年2月3日閲覧。
- ^ Sum of Natural Numbers (second proof and extra footage) - YouTube
- ^ Padilla, Tony, What do we get if we sum all the natural numbers? 2014年2月3日閲覧。
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