複素解析 複素解析の概要

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複素解析

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/16 13:29 UTC 版)

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複素関数f(z) = (z² − 1)(z − 2 − i)²/(z²+2+2i)のグラフ。色相は偏角を表し、明度（このグラフでは周期的に変化させている）は絶対値を表す。

歴史

「複素数」および「複素平面」も参照

複素解析の理論に貢献した先人

複素解析は最も古くからある数学の分野の一つであり、その起源は18世紀あるいはそれより以前にまでたどることができる。レオンハルト・オイラー、カール・フリードリッヒ・ガウス、ベルンハルト・リーマン、オーギュスタン＝ルイ・コーシー、ヨースタ・ミッタク＝レフラー、ワイエルシュトラスといった数学者や他の多くの20世紀の数学者たちが複素解析の理論に貢献している^[1][5][6][8]。

複素解析の応用

歴史的に複素解析、特に等角写像の理論は工学・地図学・物理学に多くの応用があるが^[6][8][9]、解析的整数論全般にわたっても応用されている^[10]。近年は複素力学系の勃興や正則関数の繰り返しによって与えられるフラクタル図形（有名な例としてマンデルブロ集合が挙げられる）の研究などによって有名になっている^[11]。

他の重要な応用として共形変換に対して作用が不変な場の量子論である共形場理論が挙げられる。また電気工学におけるフェーザ表示、固体力学における応力関数、流体力学における複素速度ポテンシャル^[12]など、工学の様々な分野にも応用されている。

複素関数

複素関数とは、自由変数と従属変数がともに複素数の範囲で与えられるような関数である^[1][8]。より正確に言えば複素平面の部分集合上で定義された複素数値の関数が複素関数と呼ばれる。複素関数に対し自由変数や従属変数を実部と虚部とに分けて考えることができる。

${\displaystyle z=x+iy,\,w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}$

ここで ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} .}$

従って複素関数の成分

${\displaystyle u=u(x,y),}$

${\displaystyle v=v(x,y)}$

は、2つの実変数 x, y についての実数値関数だと考えることができる。複素解析の基本的な概念は、指数関数、対数関数、三角関数などの実関数を複素関数に拡張することにより与えられることが多い。