ヒルベルト空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/16 13:38 UTC 版)
応用
ヒルベルト空間の応用の多くは、ヒルベルト空間において射影や基底変換といったような単純な幾何学的概念が、ふつうの有限次元の場合に考えられるそれらの自然な一般化になっているという事実に依拠して行われている。特に、ヒルベルト空間上の連続自己随伴線型作用素のスペクトル論は、行列のふつうのスペクトル分解の一般化であり、これはヒルベルト空間論を他の数学や物理学の分野に応用する際にしばしば大きな役割を果たす。
スツルム・リウヴィル理論
常微分方程式論において、微分方程式の固有関数および固有値の振る舞いを調べるのに適当なヒルベルト空間上のスペクトル法が利用できる。例えば、ヴァイオリンの弦やドラムの調波の研究から生じたスツルム・リウヴィル問題は、常微分方程式論の中心的な問題である[29]。スツルム・リウヴィル問題は区間 [a, b] 上の未知関数 y に対する常微分方程式
ブニモヴィチスタジアムにおける力学的ビリヤード球の軌道は、エルゴード力学系で記述される。 エルゴード理論の分野では、カオス力学系の長期的振る舞いを研究する。エルゴード理論が有効な原型的な場合というのは、熱力学における系である。この系の微視的な状態は（微粒子の間の個々の衝突の集まりとしては理解できないという意味で）極めて複雑であるにも拘らず、十分長期間にわたるその平均的振る舞いは素直であり、熱力学の法則が主張するのはこのような平均的挙動である。特に、熱力学の第0法則は「十分長い時間スケールを経れば平衡状態にある熱力学系の、その機能的に独立な測度は、温度の形でのその全エネルギーのみである」などと定式化できる。
エルゴート力学系は、（ハミルトニアンで測られる）エネルギーを除けば、相空間上の機能的に独立な保存量を持たないような系である。詳しく述べれば、エネルギー E を固定して、ΩE をエネルギーが E となる状態すべてからなる相空間の部分集合（エネルギー面）とし、Tt で相空間上の発展演算子を表せば、力学系がエルゴードとなるのは、ΩE 上の定数でない連続関数で、ΩE の任意の w と任意の時間 t において
正弦波基底関数（下）の重ね合わせが鋸歯状波（上）になる。 
球面上の自乗可積分関数全体の成すヒルベルト空間の正規直交基底を成す球面調和関数を、半径方向に沿ってグラフ化したもの フーリエ解析の基本目的の一つは、関数を付随するフーリエ級数、即ち与えられた基底関数族の（必ずしも有限とは限らない）線型結合に分解することである。区間 [0, 1] 上の関数 f に付随する古典フーリエ級数とは
水素原子における電子の軌道はエネルギーの固有関数である。 ディラック[41]とフォンノイマン[42]によって発展した量子力学の数学的に厳密な定式化は、量子力学系の取りうる状態（より正確には純粋状態）が、状態空間と呼ばれる可分な複素ヒルベルト空間に属する単位ベクトル（状態ベクトルという）によって（位相因子と呼ばれるノルム 1 の複素数の違いを除いて）表現される。つまり、取りうる状態はあるヒルベルト空間の射影化（ふつうは複素射影空間と呼ばれる）の元である。このヒルベルト空間が実際にどのようなものになるかは系に依存する。例えば、一つの非相対論的スピン 0 粒子の位置と運動量の状態は自乗可積分関数全体の成す空間であり、いっぽう一つの陽子のスピンの状態はスピノルの成す二次元複素ヒルベルト空間の長さ 1 の元である。各可観測量は状態空間上に作用する自己随伴線型作用素として表現され、可観測量の固有状態はその作用素の固有ベクトルに、固有ベクトルに対応する固有値は固有状態にある可観測量の値にそれぞれ対応する。
量子状態の時間発展はシュレーディンガー方程式によって記述され、そこに現れるハミルトニアン（全エネルギーに対応する作用素）は時間発展を生み出す。
二つの状態ベクトルの間の内積は確率振幅として知られる複素数になる。量子力学系の理想的な測定の間で、系が与えられた初期状態から特定の固有状態に崩壊する確率は、初期状態から終期状態の間の確率振幅の絶対値の平方によって与えられる。測定の結果として可能なのは、作用素の固有値であり（これは自己随伴作用素のとり方を説明する）、全ての固有値は実数でなければならない。与えられた状態の可観測量の確率分布は対応する作用素のスペクトル分解を計算すれば求められる。
一般の系では、状態は典型的には純粋ではないが、密度行列（ヒルベルト空間上のトレース 1 の自己随伴作用素）で与えられる純粋状態の統計的混合（あるいは混合状態）として表される。さらに、一般の量子力学系では、単独の測定の効果は系のほかの部分に影響を及ぼしうるが、それは測度が正の作用素値測度で取り替えたものとして記述される。従って、一般論として状態と可観測量の両方の構造は、純粋状態の理想化したものより相当に複雑である。
ハイゼンベルクの不確定性原理は、ある種の可観測量に対応する作用素が互いに可換でなく、特定の形の交換子を与えるという主張として表される。
- ^ Marsden 1974, §2.8
- ^ この節における数学的な題材は、Dieudonné (1960), Hewitt & Stromberg (1965), Reed & Simon (1980), Rudin (1980) など、標準的な関数解析学の教科書を見れば載っている。
- ^ 第二引数に関して線型であると約束する場合もある。
- ^ Dieudonné 1960, §6.2
- ^ Dieudonné 1960
- ^ メビウスの後押しを受けたグラスマンの手によるところが大きい (Boyer & Merzbach 1991, pp. 584–586)。抽象線型空間の現代的にきちんとした公理的取り扱いは、1888年のペアノが最初である (Grattan-Guinness 2000, §5.2.2; O'Connor & Robertson 1996)。
- ^ ヒルベルト空間の詳しい歴史は Bourbaki 1987 に扱われている。
- ^ Schmidt 1908
- ^ Titchmarsh 1946, §IX.1
- ^ Lebesgue 1904。積分論の歴史の詳細は Bourbaki (1987) と Saks (2005) にある。
- ^ Bourbaki 1987.
- ^ Dunford & Schwartz 1958, §IV.16
- ^ Fréchet (1907) と Riesz (1907) の結果を併せて Dunford & Schwartz (1958, §IV.16) は「L2[0,1] 上の任意の線型汎関数は積分で表される」と書いている。「ヒルベルト空間の双対がもとの空間と同一視される」という一般な形の主張は Riesz (1934) で述べられている。
- ^ von Neumann 1929.
- ^ Kline 1972, p. 1092
- ^ Hilbert, Nordheim & von Neumann 1927.
- ^ a b Weyl 1931.
- ^ Prugovečki 1981, pp. 1–10.
- ^ a b von Neumann 1932
- ^ Halmos 1957, Section 42.
- ^ Hewitt & Stromberg 1965.
- ^ a b Bers, John & Schechter 1981.
- ^ Giusti 2003.
- ^ Stein 1970
- ^ 詳細は Warner (1983) に見つかる。
- ^ ハーディ空間の一般論は Duren (1970) を見よ。
- ^ Krantz 2002, §1.4
- ^ Krantz 2002, §1.5
- ^ Young 1988, Chapter 9.
- ^ フレドホルム核の固有値は 1/λ でこれは 0 に近づく。
- ^ この観点からの有限要素法の詳細が Brenner & Scott (2005) にある。
- ^ Reed & Simon 1980
- ^ この観点からのフーリエ級数の扱いは、例えば Rudin (1987) や Folland (2009) を参照。
- ^ Halmos 1957, §5
- ^ Bachman, Narici & Beckenstein 2000
- ^ Stein & Weiss 1971, §IV.2.
- ^ Lancos 1988, pp. 212–213
- ^ Lanczos 1988, Equation 4-3.10
- ^ スペクトル法の古典的文献は Courant & Hilbert 1953。より今日的な取り扱いは Reed & Simon 1975 を参照。
- ^ Kac 1966
- ^ Dirac 1930
- ^ von Neumann 1955
- ^ Young 1988, p. 23.
- ^ Clarkson 1936.
- ^ Rudin 1987, Theorem 4.10
- ^ Dunford & Schwartz 1958, II.4.29
- ^ Rudin 1987, Theorem 4.11
- ^ Weidmann 1980, Theorem 4.8
- ^ Weidmann 1980, §4.5
- ^ Buttazzo, Giaquinta & Hildebrandt 1998, Theorem 5.17
- ^ Halmos 1982, Problem 52, 58
- ^ Rudin 1973
- ^ Trèves 1967, Chapter 18
- ^ See Prugovečki (1981), Reed & Simon (1980, Chapter VIII), Folland (1989).
- ^ Prugovečki 1981, III, §1.4
- ^ Dunford & Schwartz 1958, IV.4.17-18
- ^ Weidmann 1980, §3.4
- ^ Kadison & Ringrose 1983, Theorem 2.6.4
- ^ Dunford & Schwartz 1958, §IV.4.
- ^ 添字集合が有限の場合は例えば Halmos 1957, §5、無限の場合は Weidmann 1980, Theorem 3.6 を参照。
- ^ Levitan 2001。様々な文献（例えば Dunford & Schwartz (1958, §IV.4) など）ではこれを単に次元と呼ぶが、考えているヒルベルト空間が有限次元の場合を除けば、これは通常の線型空間の意味での次元（ハメル基底の濃度）と同じものではない。
- ^ Prugovečki 1981, I, §4.2
- ^ von Neumann (1955) はヒルベルト空間は可算ヒルベルト基底を持つものと定義したので、そのようなものは全て ℓ2 に等距同型である。量子力学の厳密な取り扱いにおいて殆どの場合この規約が用いられている（例えば Sobrino 1996, Appendix B を参照）。
- ^ a b c Streater & Wightman 1964, pp. 86–87
- ^ Young 1988, Theorem 15.3
- ^ Kakutani 1939
- ^ Lindenstrauss & Tzafriri 1971
- ^ Halmos 1957, §12
- ^ ヒルベルト空間におけるスペクトル論の一般的な説明が Riesz & Sz Nagy (1990) にある。C∗-環の言葉を用いたより高度な説明は Rudin (1973) や Kadison & Ringrose (1997) を参照。
- ^ たとえば Riesz & Sz Nagy (1990, Chapter VI) や Weidmann 1980, Chapter 7 を参照。この結果は、積分核から生じる作用素の場合には、既に Schmidt (1907) で知られている。
- ^ Riesz & Sz Nagy 1990, §§107–108
- ^ Shubin 1987
- ^ Rudin 1973, Theorem 13.30.
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