ヒルベルト空間 スペクトル論

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ヒルベルト空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/16 13:38 UTC 版)

スペクトル論

ヒルベルト空間における自己随伴作用素のスペクトル論も広く研究が成されている。これには、実係数の場合の対称行列や複素係数の場合の自己随伴行列の研究と大まかな類似がある。同様の意味で、自己随伴作用素を適当な直交射影作用素の和（実際には積分）として表す「対角化」もできる。

作用素 T のスペクトル σ(T) とは、T − λ が連続な逆作用素を持たないような複素数 λ 全体の成す集合のことである。T が有界ならば、そのスペクトルは必ずガウス平面内のコンパクト集合で、円板 {|z| ≤ ‖T‖} の内側に入る。T が自己随伴ならばそのスペクトルは実であり、事実として区間 [m,M] に含まれる。ただし、

$m=\inf _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle ,\quad M=\sup _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle$

とする。さらに言えば m と M はともに実際にはスペクトルに含まれる。

作用素 T の固有空間は

$H_{\lambda }=\ker(T-\lambda )$

で与えられる。有限次元の行列の場合と異なり、T のスペクトルの元は必ずしも固有値にはなるとは限らず、線型作用素 T − λ が逆を持たないときだけである（これは全射ではないから）。作用素のスペクトルの元は一般に「スペクトル値」と呼ばれる。スペクトル値は固有値とは限らないので、スペクトル分解は有限次元の場合よりは扱いが難しいことが多い。

しかし、自己随伴作用素 T のスペクトル論は、さらにコンパクト作用素であるという仮定を加えれば特に簡単な形にすることができる。自己随伴コンパクト作用素のスペクトル論の主張は

• 自己随伴コンパクト作用素 T は高々可算個のスペクトル値しか持たない。T のスペクトルがガウス平面において集積点を持つ可能性は 0 以外にはない。T の固有空間は H の直交直和
  $H=\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T)}H_{\lambda }$
  に分解する。さらに固有空間 H_λ の上への直交射影を E_λ と書けば
  $T=\sum _{\lambda \in \sigma (T)}\lambda E_{\lambda }$
  と表せる。ただし和は B(H) のノルムに関して収束する。

多くの積分作用素、特にヒルベルト＝シュミット作用素から生じるものはコンパクトであり、この定理は積分方程式論において基本的な役割を果たす。

自己随伴作用素に対する一般のスペクトル論には、無限和というよりもある種の作用素値リーマン・スティルチェス積分が関係してくる。T に伴う「スペクトル族」には、各実数 λ に対して作用素 (T − λ)⁺ の零空間の上への射影 E_λ が対応している。ただし ⁺ は

$A^{+}={\frac {1}{2}}({\sqrt {A^{2}}}+A)$

で定義される自己随伴作用素の正部分を表す。作用素 E_λ は自己随伴作用素の間に定義される半順序に関して単調増大である。固有値はちょうど跳躍不連続点に対応しており、

$T=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,dE_{\lambda }$

なるスペクトル論が得られる。右辺の積分はリーマン・スティルチェス積分として理解され、B(H) のノルムに関して収束する。特に、通常のスカラー値積分表現

$\langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\langle E_{\lambda }x,y\rangle$

が得られる。正規作用素に対してもある程度似たようなスペクトル分解が成立するが、この場合実数でない複素数がスペクトルに含まれるから、作用素値スティルチェス測度 dE_λ は 1 の分解で置き換えられなければならない。

スペクトル法の主な応用はスペクトル写像定理で、これにより、積分

$f(T)=\int _{\sigma (T)}f(\lambda )\,dE_{\lambda }$

を作って、自己随伴作用素 T に T のスペクトル上で定義される連続な複素関数を施すことができるようになる。このような連続汎函数計算は特に擬微分作用素への応用を持つ。

「非有界」な自己随伴作用素のスペクトル論は、有界作用素に対するものと比べてさほど難しいわけではない。非有界作用素のスペクトルは有界作用素に対するのと全く同じやり方で定義される。つまり、λ がスペクトル値となるのはレゾルベント作用素

$R_{\lambda }=(T-\lambda )^{-1}$

が連続作用素として定義されないときである。T の随伴性から、やはりスペクトルが実であることが保証される。従って、非有界作用素に特有な議論の本質の部分は、λ が実でないようなレゾルベント R_λ を見るところにある。このレゾルベントは有界正規作用素で、これをスペクトル表現したものを使って T 自身のスペクトル表現が得られる。同様の方法論で、例えばラプラス作用素のスペクトルも調べられる。作用素を直接扱うよりも、それに付随するリースポテンシャルやベッセルポテンシャルのようなレゾルベントを見るのである。

非有界自己随伴作用素の場合に成立するスペクトル定理は以下のようなものである。

ヒルベルト空間 H 上稠密に定義された自己随伴作用素 T が与えられたとき、R のボレル集合族上で定義された 1 の分解 E が一意に対応して

$\langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,dE_{x,y}(\lambda )\quad (x\in D(T),y\in H)$

を満たす。スペクトル測度 E は T のスペクトル上に集中する。

非有界正規作用素に対するスペクトル定理も存在する。