ヒルベルト空間
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関連項目
参考文献
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学習用図書
- 中村英樹:「ヒルベルト空間論&作用素論」、現代数学社、ISBN 978-4-7687-0529-2 (2020)。
- ^ Marsden 1974, §2.8
- ^ この節における数学的な題材は、Dieudonné (1960), Hewitt & Stromberg (1965), Reed & Simon (1980), Rudin (1980) など、標準的な関数解析学の教科書を見れば載っている。
- ^ 第二引数に関して線型であると約束する場合もある。
- ^ Dieudonné 1960, §6.2
- ^ Dieudonné 1960
- ^ メビウスの後押しを受けたグラスマンの手によるところが大きい (Boyer & Merzbach 1991, pp. 584–586)。抽象線型空間の現代的にきちんとした公理的取り扱いは、1888年のペアノが最初である (Grattan-Guinness 2000, §5.2.2; O'Connor & Robertson 1996)。
- ^ ヒルベルト空間の詳しい歴史は Bourbaki 1987 に扱われている。
- ^ Schmidt 1908
- ^ Titchmarsh 1946, §IX.1
- ^ Lebesgue 1904。積分論の歴史の詳細は Bourbaki (1987) と Saks (2005) にある。
- ^ Bourbaki 1987.
- ^ Dunford & Schwartz 1958, §IV.16
- ^ Fréchet (1907) と Riesz (1907) の結果を併せて Dunford & Schwartz (1958, §IV.16) は「L2[0,1] 上の任意の線型汎関数は積分で表される」と書いている。「ヒルベルト空間の双対がもとの空間と同一視される」という一般な形の主張は Riesz (1934) で述べられている。
- ^ von Neumann 1929.
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- ^ Hewitt & Stromberg 1965.
- ^ a b Bers, John & Schechter 1981.
- ^ Giusti 2003.
- ^ Stein 1970
- ^ 詳細は Warner (1983) に見つかる。
- ^ ハーディ空間の一般論は Duren (1970) を見よ。
- ^ Krantz 2002, §1.4
- ^ Krantz 2002, §1.5
- ^ Young 1988, Chapter 9.
- ^ フレドホルム核の固有値は 1/λ でこれは 0 に近づく。
- ^ この観点からの有限要素法の詳細が Brenner & Scott (2005) にある。
- ^ Reed & Simon 1980
- ^ この観点からのフーリエ級数の扱いは、例えば Rudin (1987) や Folland (2009) を参照。
- ^ Halmos 1957, §5
- ^ Bachman, Narici & Beckenstein 2000
- ^ Stein & Weiss 1971, §IV.2.
- ^ Lancos 1988, pp. 212–213
- ^ Lanczos 1988, Equation 4-3.10
- ^ スペクトル法の古典的文献は Courant & Hilbert 1953。より今日的な取り扱いは Reed & Simon 1975 を参照。
- ^ Kac 1966
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- ^ Rudin 1987, Theorem 4.10
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- ^ Halmos 1982, Problem 52, 58
- ^ Rudin 1973
- ^ Trèves 1967, Chapter 18
- ^ See Prugovečki (1981), Reed & Simon (1980, Chapter VIII), Folland (1989).
- ^ Prugovečki 1981, III, §1.4
- ^ Dunford & Schwartz 1958, IV.4.17-18
- ^ Weidmann 1980, §3.4
- ^ Kadison & Ringrose 1983, Theorem 2.6.4
- ^ Dunford & Schwartz 1958, §IV.4.
- ^ 添字集合が有限の場合は例えば Halmos 1957, §5、無限の場合は Weidmann 1980, Theorem 3.6 を参照。
- ^ Levitan 2001。様々な文献(例えば Dunford & Schwartz (1958, §IV.4) など)ではこれを単に次元と呼ぶが、考えているヒルベルト空間が有限次元の場合を除けば、これは通常の線型空間の意味での次元(ハメル基底の濃度)と同じものではない。
- ^ Prugovečki 1981, I, §4.2
- ^ von Neumann (1955) はヒルベルト空間は可算ヒルベルト基底を持つものと定義したので、そのようなものは全て ℓ2 に等距同型である。量子力学の厳密な取り扱いにおいて殆どの場合この規約が用いられている(例えば Sobrino 1996, Appendix B を参照)。
- ^ a b c Streater & Wightman 1964, pp. 86–87
- ^ Young 1988, Theorem 15.3
- ^ Kakutani 1939
- ^ Lindenstrauss & Tzafriri 1971
- ^ Halmos 1957, §12
- ^ ヒルベルト空間におけるスペクトル論の一般的な説明が Riesz & Sz Nagy (1990) にある。C∗-環の言葉を用いたより高度な説明は Rudin (1973) や Kadison & Ringrose (1997) を参照。
- ^ たとえば Riesz & Sz Nagy (1990, Chapter VI) や Weidmann 1980, Chapter 7 を参照。この結果は、積分核から生じる作用素の場合には、既に Schmidt (1907) で知られている。
- ^ Riesz & Sz Nagy 1990, §§107–108
- ^ Shubin 1987
- ^ Rudin 1973, Theorem 13.30.
ヒルベルト空間と同じ種類の言葉
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