method of Lagrange multiplier

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ラグランジュの未定乗数法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/01 02:59 UTC 版)

ラグランジュの未定乗数法（ラグランジュのみていじょうすうほう、英: method of Lagrange multiplier）とは、束縛条件のもとで最適化を行うための数学（解析学）的な方法である。いくつかの変数に対して、いくつかの関数の値を固定するという束縛条件のもとで、別のある1つの関数の極値を求めるという問題を考える。各束縛条件に対して定数（未定乗数、Lagrange multiplier）を用意し、これらを係数とする線形結合を新しい関数（未定乗数も新たな変数とする）として考えることで、束縛問題を普通の極値問題として解くことができる方法である。

定理

ラグランジュの未定乗数法は、次のような定理として記述される。

2次元の場合

束縛条件 g(x, y) = 0 の下で、f(x, y) が最大値となる点 (a , b) を求める問題、つまり

maximize $f(x,y),$

図1：束縛条件 g (x,y ) = c に対して関数 f (x,y ) を最大化する場合。

図2：図1の等高線地図。赤い線は束縛条件 g(x, y) = c を示す。青い線は f(x, y) の等高線。赤い線が青い等高線に接する点が解。

簡単のため2次元の場合を考えよう。g (x, y) = c（ここで c は与えられた定数である）という条件の下、関数 f (x, y) を最大化するものとしよう。f の値を高さとしたグラフを考えると、高さが d の f の等高線は f (x, y) = d で与えられる。ここで、任意の曲線に沿って移動する点を考えると、この点が等高線を横切る場合、必ず f (x, y) は増加、もしくは減少するが、この点が等高線に沿って移動する場合は f (x, y) は変化しないことが分かる。この条件と通常の極値の条件を合わせて考えれば、曲線上で f (x, y) が最大をとる点では、f の等高線の接線と曲線の接線が平行となっているか、f の勾配がゼロとなっていることが分かる。ここで g (x, y) = c の接線は、g の勾配ベクトル ∇_x,y g と直交し、また f の等高線 f (x, y) = d の接線は f の勾配ベクトル ∇_x,y f と直交することを踏まえると、前述の条件は

$\nabla _{x,y}f=\lambda \nabla _{x,y}g$

この節の加筆が望まれています。 （2021年10月）

解析力学

作用積分が S[q] で与えられる物理系に n 個の拘束条件 ϕ^a(q, t) = 0, (a = 1, ..., n) が課せられているとき、この系の運動方程式は λ_a を未定乗数とする条件付き変分

${\frac {\delta S}{\delta q}}+\sum _{a=1}^{n}\lambda _{a}{\frac {\partial \phi ^{a}}{\partial q}}=0$

Optimization computes maxima and minima.

非線形（制約付き）

凸最適化

組合せ最適化

メタヒューリスティクス

• 進化的アルゴリズム（進化戦略）
• 山登り法
• 局所探索法
• 焼きなまし法
• タブーサーチ
• ベイスンホッピング法

• カテゴリ（最適化 • アルゴリズム） • ソフトウェア

Weblio日本語例文用例辞書

「method of Lagrange multiplier」の例文・使い方・用例・文例

• 「資格商法」とは文字通りには「qualification selling method」という意味であり、根拠のない資格や学位を法外な値段で売る詐欺的ビジネスである。
• Microsoftがβ版をランチするのは「NetShow streaming server」で動画や音声をオンデマンドで提供する。
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 an admiral of the fleet 海軍元帥.
• 篏入的 r 音 《英音の India office /ndiərfɪs/の /r/の音》.
• ＝《口語》 These kind of stamps are rare. この種の[こういう]切手は珍しい.
• (英国の)運輸省. the Ministry of Education(, Science and Culture) (日本の)文部省.
• は of の誤植です.
• を off と誤植する.
• あいまい母音 《about, sofa などの /ə/》.
• 副詞的小詞 《on, in, out, over, off など》.
• 迂言的属格 《語尾変化によらず前置詞によって示す属格; たとえば Caesar's の代わりの of Caesar など》.
• çon of garlic [humor]. それにはガーリック[ユーモア]がちょっぴり必要だ.
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 the Speaker of the House of Commons 下院議長.
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 the Committee of Ways and Means 歳入委員会.
• 初めて読んだ英文小説は“The Vicar of Wakefield”
• （違法罪―a sin of commission―に対する）怠惰罪
• 『each』、『every』、『either』、『neither』、『none』が分配的、つまり集団の中の1つのものを指すのに対し、『which of the men』の『which』は分離的である
• 『hot off the press（最新情報）』は『hot（最新の）』の拡張感覚を示している
• 『Each made a list of the books that had influenced him』における制限節は、リストに載った本を制限節で定義された特定の本だけに制限する
• 臨床的鬱病を治療するのに用いられる三環系抗鬱薬（商品名ImavateとTofranil）