非線型安定性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/04 08:42 UTC 版)
上述の安定性理論に考察されたのは線型方程式のみである。その理論は時折り非線型方程式にも適用できるが、決して正しいわけではない。非線形方程式の研究を完全に一般化するのが困難であるように、すべての方程式に対する安定性を考察するのもほぼ不可能である。現在非線形方程式に対する安定性はほとんど単調性条件 ⟨ f ( t , y ) − f ( t , z ) , y − z ⟩ ≤ 0 {\displaystyle \langle f(t,y)-f(t,z),y-z\rangle \leq 0} を満足する方程式 y ′ = f ( t , y ) {\displaystyle y'=f(t,y)} のみを考える。ただし、 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は標準内積である。この発想は、ダールキストによるものである。また、ルンゲ＝クッタ法と線型多段法に対する安定性の定義は異なる。なぜならば、線型多段法は時刻毎に多数の成分からベクトルを記憶する必要があり、偏差を測るには標準内積と異なる内積を定義しなければならないからである（比べて、ルンゲ＝クッタ法は時刻毎に単一の実数を記憶し、よって標準内積が使われる）。 上記の方程式に対してルンゲ＝クッタ法の安定性は B-安定性 (B-stability) という。方程式にルンゲ＝クッタ法を適用するときに、異なる初期値 y0 と ^y0 に対し不等式 ‖ y 1 − y ^ 1 ‖ ≤ ‖ y 0 − y ^ 0 ‖ {\displaystyle \lVert y_{1}-{\hat {y}}_{1}\rVert \leq \lVert y_{0}-{\hat {y}}_{0}\rVert } が成立すれば、その方法をB-安定と呼ぶ。ここで、y1 と ^y1 は時刻 t1 でのそれぞれの近似解である。B-安定な方法は必ずA-安定である。 さらに、ルンゲ＝クッタ法の係数が bi ≥ 0 かつ行列 M = ( b i a i j − b j a j i − b i b j ) i j {\displaystyle M=(b_{i}a_{ij}-b_{j}a_{ji}-b_{i}b_{j})_{ij}} が半正定値であるという条件を満足するとき、その方法を 代数的安定 (algebraically stable) という。代数的安定な方法は必ずB-安定である。 線型多段法の安定性は G-安定性 (G-stability) という。G-安定性は、B-安定性と同じアイディアを持つが、上述通り標準内積が通用しないので同じように定義することができない。 k 段線型多段法の一般形式は次の公式で与えられる。 ∑ i = 0 k α i y n − i = h ∑ i = 0 k β i f ( t n − i , y n − i ) . {\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\alpha _{i}y_{n-i}=h\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}f(t_{n-i},y_{n-i}).} ここで、αi と βi は定数であり、ベクトル α = (α0, ..., αk) と β = (β0, ..., βk) は方法の 生成ペア (generating pair) という。 この方法に対応する one-leg法 (one-leg method) は次の公式で与えられる。 ∑ i = 0 k α i y n − i = h ( ∑ i = 0 k β i ) f ( x n − θ h , ( ∑ i = 0 k β i ) − 1 ∑ i = 0 k β i y n − i ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\alpha _{i}y_{n-i}=h{\Biggl (}\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}{\Biggr )}\,f{\Biggl (}x_{n}-\theta h,{\biggl (}\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}{\biggr )}^{-1}\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}y_{n-i}{\Biggr )}} ただし、 θ = ∑ i = 0 k i β i ∑ i = 0 k β i {\displaystyle \theta ={\frac {\sum _{i=0}^{k}i\beta _{i}}{\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}}}} である。線型多段法は対応するone-leg法と同じ線型安定性を持つため、同じ非線形安定性を持つことも期待できる。しかし上記の方程式に対する安定性を分析するには、線型多段法より対応するone-leg法を用いる方が遥かに簡単である。よって以下の定義はone-leg法に対するものである。 与えられた k 次正定値対称行列 G に対応する R k n {\displaystyle \mathbb {R} ^{kn}} 上の内積を以下のように定義できる： ⟨ U , V ⟩ G = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k g i j ⟨ U i , V j ⟩ , U , V ∈ R k n {\displaystyle \langle U,V\rangle _{G}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}g_{ij}\langle U_{i},V_{j}\rangle ,\quad U,V\in \mathbb {R} ^{kn}} ここで、 U = ( U 1 , … , U k ) T , U i ∈ R n {\displaystyle U=(U_{1},\ldots ,U_{k})^{\mathrm {T} },\;U_{i}\in \mathbb {R} ^{n}} である。 one-leg法に対し、行列 M = α β T + β α T − [ G 0 0 0 ] + [ 0 0 0 G ] {\displaystyle M=\alpha \beta ^{\mathrm {T} }+\beta \alpha ^{\mathrm {T} }-{\begin{bmatrix}G&0\\0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\0&G\end{bmatrix}}} を半正定値にする G が存在するとき、その方法をG-安定という。この定義は初見でルンゲ＝クッタ法の安定性とは全く違うものと思われるかもしれないが、本質的には同じものである。なぜならば、上記の定義を以て、不等式 ‖ y 1 − y ^ 1 ‖ G ≤ ‖ y 0 − y ^ 0 ‖ G {\displaystyle \lVert y_{1}-{\hat {y}}_{1}\rVert _{G}\leq \lVert y_{0}-{\hat {y}}_{0}\rVert _{G}} を証明できるからである。 また、G-安定性もB-安定性のようにA-安定性より強い条件に見えるかもしれないが、実際にA-安定性とは同値である。すなわち、線型多段法がA-安定であることは対応するone-leg法がG-安定であることの必要十分条件となる。
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