B-安定性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/18 03:25 UTC 版)
A-安定性という概念は線型自励方程式 y ′ = λ y {\displaystyle y'=\lambda y} を考える結果である。 ダールキスト（英語版）は、数値的方法を使って、とある単調性条件を満たす非線型方程式系に適用するときの安定性を主張した。対応する安定性は、線型多段法の場合に G-安定性 （G-stability）で、ルンゲ＝クッタ法の場合に B-安定性 (B-stability) と呼ぶ。 一般的なテスト方程式 y ′ = f ( x , y ) {\displaystyle y'=f(x,y)} と単調性条件 ⟨ f ( x , y ) − f ( x , z ) , y − z ⟩ ≤ 0 {\displaystyle \langle f(x,y)-f(x,z),y-z\rangle \leq 0} を満足する f を考える。もしすべての h ≥ 0 {\displaystyle h\geq 0} に対し、 不等式 ‖ y n + 1 − z n + 1 ‖ ≤ ‖ y n − z n ‖ {\displaystyle \|y_{n+1}-z_{n+1}\|\leq \|y_{n}-z_{n}\|} が成立するとき、そのルンゲ＝クッタ法は B-安定 という。 ここで、yn と zn はそれぞれの初期値に対する数値解である。 f ( x , y ) = λ y {\displaystyle f(x,y)=\lambda y} に方法を適用することで、B-安定性はA-安定性より強い条件であることがわかる。
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