高階方程式の解と安定性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/24 19:26 UTC 版)
「行列差分方程式」の記事における「高階方程式の解と安定性」の解説
高階—すなわち最大の時間間隔が一周期よりも長い—行列方程式も、区分行列に関する一階の形の方程式に変換すれば、解くことができて、それらの安定性を調べることができる。 例えば、n-成分変数ベクトル x と n-次係数行列 A, B を持つ二階方程式 x t = A x t − 1 + B x t − 2 {\textstyle x_{t}=Ax_{t-1}+Bx_{t-2}} は n-次単位行列 I と n-次零行列 O を用いて ( x t x t − 1 ) = ( A B I O ) ( x t − 1 x t − 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{t}\\x_{t-1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&B\\I&O\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{t-1}\\x_{t-2}\end{pmatrix}}} の形にまとめることができる。これを、現在時点とその一つ前の時点における変数をひとまとめにした 2n 成分変数ベクトル zt と 2n-次正方区分行列 L に関する一階方程式と見れば、既にみたように解 z t = L t z 0 {\displaystyle z_{t}=L^{t}z_{0}} が得られるというわけである。ゆえに以前と同じように、このまとめられた方程式、したがってもとの二階方程式が安定となるための必要十分条件として、行列 L の任意の固有値が絶対値に関して 1 より小さいこと、を挙げることができる。
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