非線形の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/14 22:23 UTC 版)
スペクトルアプローチを使用し、強制的な非定常非線形バーガース方程式を解く。 与えられた u ( x , 0 ) {\displaystyle u(x,0)} 周期領域で x ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle x\in \left[0,2\pi \right)} 、次式を満たす u ∈ U {\displaystyle u\in {\mathcal {U}}} を見つけることを考える。 ∂ t u + u ∂ x u = ρ ∂ x x u + f ∀ x ∈ [ 0 , 2 π ) , ∀ t > 0 {\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=\rho \partial _{xx}u+f\quad \forall x\in \left[0,2\pi \right),\forall t>0} ここで、 ρは粘度係数である。 弱保存形では、これは次式のようになる。 ⟨ ∂ t u , v ⟩ = ⟨ ∂ x ( − 1 2 u 2 + ρ ∂ x u ) , v ⟩ + ⟨ f , v ⟩ ∀ v ∈ V , ∀ t > 0 {\displaystyle \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle =\left\langle \partial _{x}\left(-{\frac {1}{2}}u^{2}+\rho \partial _{x}u\right),v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0} ただし、 ⟨ f , g ⟩ := ∫ 0 2 π f ( x ) g ( x ) ¯ d x {\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{0}^{2\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx} は内積である。 部分積分と周期性により、 ⟨ ∂ t u , v ⟩ = ⟨ 1 2 u 2 − ρ ∂ x u , ∂ x v ⟩ + ⟨ f , v ⟩ ∀ v ∈ V , ∀ t > 0. {\displaystyle \langle \partial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.} フーリエ- ガラーキン法を適用するには、以下の両方を選択する。 U N := { u : u ( x , t ) = ∑ k = − N / 2 N / 2 − 1 u ^ k ( t ) e i k x } {\displaystyle {\mathcal {U}}^{N}:=\left\{u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\hat {u}}_{k}(t)e^{ikx}\right\}} V N := span { e i k x : k ∈ − N / 2 , … , N / 2 − 1 } {\displaystyle {\mathcal {V}}^{N}:=\operatorname {span} \left\{e^{ikx}:k\in -N/2,\dots ,N/2-1\right\}} ただし、 u ^ k ( t ) := 1 2 π ⟨ u ( x , t ) , e i k x ⟩ {\displaystyle {\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle } 。 これにより、 u ∈ U N {\displaystyle u\in {\mathcal {U}}^{N}} の探索は以下の問題に帰着される。 ⟨ ∂ t u , e i k x ⟩ = ⟨ 1 2 u 2 − ρ ∂ x u , ∂ x e i k x ⟩ + ⟨ f , e i k x ⟩ ∀ k ∈ { − N / 2 , … , N / 2 − 1 } , ∀ t > 0. {\displaystyle \langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.} ここで、直交関係 ⟨ e i l x , e i k x ⟩ = 2 π δ l k {\displaystyle \langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk}} を利用している。ただし δ l k {\displaystyle \delta _{lk}} はクロネッカーデルタである。上記の3つの項を k {\displaystyle k} について整理すると次のようになる。 ⟨ ∂ t u , e i k x ⟩ = ⟨ ∂ t ∑ l u ^ l e i l x , e i k x ⟩ = ⟨ ∑ l ∂ t u ^ l e i l x , e i k x ⟩ = 2 π ∂ t u ^ k , ⟨ f , e i k x ⟩ = ⟨ ∑ l f ^ l e i l x , e i k x ⟩ = 2 π f ^ k , and ⟨ 1 2 u 2 − ρ ∂ x u , ∂ x e i k x ⟩ = ⟨ 1 2 ( ∑ p u ^ p e i p x ) ( ∑ q u ^ q e i q x ) − ρ ∂ x ∑ l u ^ l e i l x , ∂ x e i k x ⟩ = ⟨ 1 2 ∑ p ∑ q u ^ p u ^ q e i ( p + q ) x , i k e i k x ⟩ − ⟨ ρ i ∑ l l u ^ l e i l x , i k e i k x ⟩ = − i k 2 ⟨ ∑ p ∑ q u ^ p u ^ q e i ( p + q ) x , e i k x ⟩ − ρ k ⟨ ∑ l l u ^ l e i l x , e i k x ⟩ = − i π k ∑ p + q = k u ^ p u ^ q − 2 π ρ k 2 u ^ k . {\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle \partial _{t}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =\left\langle \sum _{l}\partial _{t}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k},\\\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle \sum _{l}{\hat {f}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =2\pi {\hat {f}}_{k},{\text{ and}}\\\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle {\frac {1}{2}}\left(\sum _{p}{\hat {u}}_{p}e^{ipx}\right)\left(\sum _{q}{\hat {u}}_{q}e^{iqx}\right)-\rho \partial _{x}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {1}{2}}\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},ike^{ikx}\right\rangle -\left\langle \rho i\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},ike^{ikx}\right\rangle \\&=-{\frac {ik}{2}}\left\langle \sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},e^{ikx}\right\rangle -\rho k\left\langle \sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle \\&=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}.\end{aligned}}} これらの3つの項を k {\displaystyle k} についてまとめることで次式を得る。 2 π ∂ t u ^ k = − i π k ∑ p + q = k u ^ p u ^ q − 2 π ρ k 2 u ^ k + 2 π f ^ k k ∈ { − N / 2 , … , N / 2 − 1 } , ∀ t > 0. {\displaystyle 2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.} 両辺を 2 π {\displaystyle 2\pi } で除することで、最終的に次式を得る。 ∂ t u ^ k = − i k 2 ∑ p + q = k u ^ p u ^ q − ρ k 2 u ^ k + f ^ k k ∈ { − N / 2 , … , N / 2 − 1 } , ∀ t > 0. {\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.} フーリエ変換後の初期条件 u ^ k ( 0 ) {\displaystyle {\hat {u}}_{k}(0)} と外力 f ^ k ( t ) {\displaystyle {\hat {f}}_{k}(t)} を入力として与えることで、この常微分方程式の結合系の時間発展は、ルンゲ＝クッタ法などを使った数値積分によって解くことができる。 第一項（非線形項）は畳み込み演算であるため、これも効率的に評価するための変換がいくつか存在する。 BoydおよびCanutoらの参考文献を参照してください。詳細については。
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